ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
Шрифт:
Действительно, подсчету ступеней-уровней всегда свойственна некоторая неопределенность; это верно не только для картин Эшера, но и для любых многоступенчатых иерархических систем. Позже мы постараемся глубже понять причину этой неопределенности. Однако не будем отвлекаться! Если затянуть Петлю еще туже, мы получим замечательную картину «Рисующие руки» (рис. 135), на которой каждая из рук рисует другую — двуступенчатая Странная Петля. Наконец, самая тугая Петля представлена в «Картинной галерее»(рис. 142): это картина картины, содержащей саму себя. Или это картина галереи, содержащей саму себя? Или города, содержащего самого себя? Или молодого человека, содержащего самого себя? (Между прочим, иллюзия, лежащая в основе «Подъема и спуска» и «Водопада» была изобретена не Эшером, а английским математиком Роджером
В концепции Странных Петель скрыта идея бесконечности, ибо что такое Петля, как не способ представить бесконечный процесс в конечной форме? Бесконечность играет важную роль во многих картинах Эшера. Копии какой-либо «темы» часто «вставлены» друг в друга, создавая зрительные аналогии с канонами Баха. Несколько таких структур можно увидеть на знаменитой Эшеровской гравюре «Метаморфоза»(рис. 8). Она немного напоминает «Естественно Растущий Канон»: уходя все дальше и дальше от начального пункта, мы внезапно возвращаемся обратно к началу. В черепичных плоскостях «Метаморфозы» уже есть намек на бесконечность; однако другие картины Эшера являют еще более смелые образы бесконечного, На некоторых его рисунках одна и та же тема «звучит» на нескольких уровнях реальности. Скажем, один из планов легко узнается как фантастический, в то время как другой представляет реальность. Сама картина, возможно, содержит только эти два плана; однако само наличие подобной «двусмысленности» приглашает зрителя увидеть самого себя как часть еще одного плана. Сделав этот шаг, он уже околдован предложенной Эшером возможностью бесконечной последовательности планов, где для каждого данного уровня существует высший, более «реальный», и низший, более «фантастичный» уровни. Такая ситуация сама по себе является достаточно удивительной и пугающей. Однако что произойдет, если цепь уровней к тому же будет не линейная, а замкнутая саму на себя, образуя Петлю? Что тогда будет реальностью, а что фантазией? Гений Эшера заключается в том, что он не только придумал, но и сумел изобразить десятки полуреальных, полумифических миров, миров, полных Странных Петель, куда он приглашает войти Зрителя.
Рис. 9. Курт Гёдель
Во всех примерах Странных Петель, которые мы видели у Баха и Эшера, присутствует конфликт между конечным и бесконечным, конфликт, рождающий ощущение парадокса. Интуиция подсказывает, что здесь замешано нечто, связанное с математикой. В самом деле, не так давно — в нашем веке — было найдено математическое соответствие этого явления. Это открытие оказало огромное влияние на развитие логической мысли. Подобно Петлям Баха и Эшера, основанным на простых и привычных образах (музыкальная гамма, лестница), открытие Странных Петель в математических системах, принадлежащее К. Гёделю, берет свое начало в простых и интуитивных идеях. В самой упрощенной форме открытие Гёделя сводится к переводу на язык математики одного из старинных философских парадоксов, так называемого парадокса Эпименида (или парадокса лжеца). Критский философ Эпименид был автором бессмертного суждения: «Все критяне — лжецы». В более прямой форме парадокс звучит так: «Я лгу» или «Это высказывание — ложь». В дальнейшем, говоря о парадоксе Эпименида, я буду иметь в виду последний вариант. Это суждение грубо нарушает обычное представление о том, что все суждения делятся на истинные и ложные, так как если мы на минуту представим, что оно истинно, то тут же увидим, что мы ошиблись, и на самом деле суждение ложно. Точно так же, из предпосылки ложности этого суждения вытекает, что оно должно быть истинным, Попробуйте сами!
Парадокс Эпименида является Странной Петлей «в одну ступеньку», так же, как «Картинная галерея» Эшера. Но какое отношение имеет он к математике? В этом как раз и заключается открытие, сделанное Гёделем. Он попытался использовать математические рассуждения для анализа самих же математических рассуждений. Идея заставить математику заняться «самоанализом» оказалась необычайно продуктивной; теорема Гёделя о неполноте, пожалуй, самое важное её следствие. То, что эта теорема утверждает, и то, как это утверждение в ней доказывается, это разные вещи, которые мы подробно рассмотрим в дальнейшем. Саму теорему можно сравнить с жемчужиной, а метод доказательства — с устрицей, её скрывающей. Мы восхищаемся сияющей простотой жемчужины; устрица же является сложным живым организмом, в чьем нутре зарождается эта таинственно простая драгоценность.
Теорема Гёделя впервые увидела свет как «теорема VI»
Каждому -непротиворечивому рекурсивному классу формул k соответствует рекурсивный символ классов r такой, что ни v Gen r ни Neg (v Gen r) не принадлежат к Flg (к), где v - свободная переменная r.
В оригинале это было написано по-немецки; читатель, возможно, думает, что с тем же успехом можно было бы это на немецком и оставить. Постараемся привести перевод на более понятный язык.
Все непротиворечивые аксиоматические формулировки теории чисел содержат неразрешимые суждения.
Это наша жемчужина.
В ней трудно увидеть Странную Петлю, потому что эта Петля спрятана в «устрице» — в доказательстве. Доказательство теоремы Гёделя о неполноте вращается вокруг автореферентного (описывающего самого себя) математического суждения, так же как парадокс Эпименида — вокруг такого суждения в языке. Говорить о языке, используя для этого сам язык, несложно; гораздо труднее вообразить, как может говорить само о себе математическое суждение о числах. На самом деле, уже для того, чтобы связать идею автореферентного суждения с теорией чисел, понадобился гениальный ум. Интуитивно придя к мысли о возможности такого суждения, Гёдель преодолел одну из основных трудностей. Само же создание автореферентного суждения было делом техники, раздуванием костра из блистательной искры мгновенного прозрения.
Мы остановимся на теореме Гёделя в последующих главах; но чтобы покуда не оставить читателя в полной тьме, я несколькими штрихами обрисую суть идеи в надежде на то, что это заставит вас задуматься. Для начала уясним, в чем здесь основная трудность. Математические суждения описывают свойства целых чисел (мы будем говорить здесь о суждениях теории чисел). Ни целые числа, ни их свойства не являются сами по себе суждениями. Суждения теории чисел не говорят ничего про суждения теории чисел; они не более как суждения теории чисел. В этом и заключается проблема; однако Гёдель сумел увидеть глубже того, что лежит на поверхности.
Гёдель предположил, что суждение теории чисел могло бы быть о суждении теории чисел (возможно даже о себе самом), если бы сами числа могли обозначать суждения. Иными словами, в центре его построения находится идея кода. В этом коде, обычно именуемом «Гёделевой нумерацией», символы и последовательности символов обозначаются числами. Таким образом, любое суждение теории чисел, будучи последовательностью специальных символов, получает Гёделев номер, что-то вроде телефонного номера или номерного знака машины. В дальнейшем, для ссылки на данное суждение используется соответствующий Гёделев номер. С помощью этого кодирующего трюка суждения теории чисел приобретают двоякое значение: они могут быть поняты как суждения теории чисел, а так же как суждения о суждениях теории чисел.
После того, как Гёдель изобрел эту кодирующую схему, ему пришлось разработать в деталях способ перевода парадокса Эпименида на формальный язык теории чисел. Конечный результат «пересадки» Эпименида на формальную почву звучит так: «Это суждение теории чисел не имеет доказательства» (вместо «Это суждение теории чисел ложно»). Эта формулировка может создать немалую путаницу. так как «доказательство» для многих является весьма приблизительным понятием. В действительности, труды Геделя были лишь частью долгих поисков, предпринятых математиками в надежде выяснить, что же такое доказательства. Необходимо помнить тот факт, что доказательства являются таковыми только внутри жестких систем теорем. В Гёделевской работе такой жесткой системой, к которой относится слово «доказательство», является огромный труд Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда «Principia Mathematical» («Основания математики»), опубликованный между 1910 и 1913 годами. Следовательно, Гёделево высказывание Г должно бы звучать более правильно как:
Это суждение теории чисел не имеет доказательств в системе «Оснований математики».
Заметим, между прочим, что Гёделево высказывание Г само по себе не является теоремой Гёделя, так же как высказывание Эпименида не является замечанием «Высказывание Эпименида — парадокс». Теперь мы можем установить, какой эффект произвело открытие Г. В то время как высказывание Эпименида создает парадокс, потому что оно не является ни истинным, ни ложным, Гёделево высказывание Г — истинно, хотя и не доказуемо в системе «Оснований математики». Из этого следует замечательный вывод: система «Оснований математики» неполна, так как существуют истинные суждения теории чисел, не доказуемые методами самой теории (эти методы доказательства оказываются слишком «слабыми».)