Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков
Шрифт:
(О + Р)0 = 1,
(О + Р)1 = О + Р,
(О + Р)2 = О2 + 2ОР + Р2,
(О + Р)3 = О3 + 3 О2Р + 3 ОР2 + Р3
(О + Р)4 = О4 + 4О3Р + 6
— Остается выписать отдельно все коэффициенты:
— Ой, — изумляется Фило, — ведь это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.
— Умница! — одобрительно зыркает на него Мате. — Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.
Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить все эти неожиданные для него совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему это Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились вдруг к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.
— Вообще, как я погляжу, — продолжает он уже вслух, — в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек…
— …которые в конце концов вливаются в одно большое озеро или море, — развивает его мысль Асмодей. — Нечто подобное как раз произойдет и в науке семнадцатого века. Все ее, иногда разрозненные, а иногда и связанные между собой, течения в конце концов объединятся в научном творчестве двух величайших ученых: англичанина Исаака Ньютона и немца Готфрида Лейбница.
— Бесспорно, — поддерживает его Мате. — Возьмем механику. Все, сделанное ранее Коперником, Галилеем и Кеплером в области движения небесных тел, найдет блистательное подтверждение и завершение в законе всемирного тяготения Ньютона.
— А математика, мсье? — перебивает Асмодей. — Весь этот пристальный интерес к неделимым, к наибольшим и наименьшим величинам, над которыми ломали головы и Декарт, и Роберваль, и Ферма, и, разумеется, Паскаль, — разве не приведет это в конце концов к открытию дифференциального и интегрального исчисления, которое почти одновременно и независимо друг от друга совершат Ньютон и Лейбниц?
— Не забудьте про комбинаторику, — суетится Мате, — науку о всевозможных группировках, к которым как раз относятся сочетания. Комбинаторикой усердно занимались и Ферма, и Паскаль, и Гюйгенс [28] , который, кстати сказать, тоже внес свою лепту в разработку теории вероятностей. Ньютон же, в свою очередь, использовал сочетания в разложении степени бинома, широко известном под названием бинома Ньютона.
Фило озабоченно хмурится.
— Бином Ньютона… Все это уж было когда-то, но только не помню, когда, — декламирует он себе под нос. — Кажется, в десятом классе…
28
Гюйгенс Христиан (1629–1699) — выдающийся нидерландский физик, математик, астроном. Изобретатель маятниковых часов, автор многочисленных
— С вашего разрешения, не далее чем несколько минут назад, — ехидничает Мате. — Потому что рассмотренные нами степени бинома имеют самое прямое отношение к формуле бинома Ньютона. Остается лишь записать ее в общем виде. — Он снова хватается за свой неизбежный блокнот. — Однако прежде всего запомните, что число сочетаний принято обозначать латинской буквой С…
— От французского «комбинезон» — «сочетание», — поясняет Асмодей.
— При этом справа от С ставятся два индекса, — продолжает Мате, — пониже и повыше. Нижний обозначает число предметов, из которых составляются сочетания. Верхний — число предметов в каждом отдельном сочетании. Например, число сочетаний из пяти по два — C25. А в общем виде число сочетаний из п предметов по k — Ckn. Вот теперь можно и записать формулу бинома Ньютона для О и Р, — чтоб уж не отвлекаться от нашей задачи:
(О+P)n = Оn + C1nОn-1Р + C2nОn-2Р2 + C3nОn-3Р3 +…+CknОn-kРk +… +Рn.
— А как же все-таки вычислить вероятность выигрыша при любом числе бросков? — недоумевает Фило.
— Могли бы и не спрашивать! Вы ведь уже знаете, что вероятность события есть отношение числа благоприятных случаев к числу всех возможных. И стало быть,
Мате хочет еще напомнить, что 2n, то бишь сумма всех коэффициентов в разложении степени бинома, это и есть число всех возможных случаев, но вдруг умолкает на полуслове и начинает прислушиваться. Вместо звона монеты и пьяных голосов из караулки теперь доносятся совсем другие, довольно-таки устрашающие звуки.
— По-моему, это храп, — говорит он почему-то шепотом, хотя как раз сейчас опасаться, казалось бы, нечего.
— Да, — соглашается Асмодей. — Похоже, они уже того… готовы.
— Так что же мы здесь сидим! — ахает Фило. — Чего доброго, опоздаем на премьеру.
И, осторожно перешагнув через спящих на полу мушкетеров, компания благополучно достигает противоположной двери караулки, которая выпускает их в сад.
Версальское представление
— Чертог сиял! Гремели хором певцы при звуках флейт и лир, — упоенно декламирует Фило, любуясь освещенным дворцом, за окнами которого снуют фигуры причудливо разодетых гостей.
— Не увлекайтесь, мсье, — остерегает его бес. — Поэты ревнивы. Уместно ли, собираясь на спектакль Мольера, цитировать Пушкина?
Тот назидательно поднимает палец.
— Пушкина, к вашему сведению, уместно цитировать всегда! Но мне что-то не нравится эта суета за окнами. Что она означает? Может статься, антракт?
Асмодей делает постное лицо.
— Если бы, мсье!
— Как?! Вы хотите сказать, что представление уже окончилось? Уж эта мне шляпа! Знал бы я, что из-за нее потеряю, никогда не стал бы ее разыскивать…