Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

Левшин Владимир Артурович

Фило презрительно фыркает. Кто любит арбуз, а кто свиной хрящик..

Но Асмодей не дает разгореться перепалке: он решительно возвращает филоматиков к разговору о кнопках, потому что спасение, по его словам, кроется именно в них.

— Задача, стало быть, состоит в том, чтобы нажать нужную, — соображает Фило. — Так ведь это же очень просто! Сколько их тут?

— У северной и южной дверей — по восьми, у восточной и западной — по четырнадцати, мсье.

— Итого сорок четыре. Не так уж много! Попробуем все — авось какая-нибудь да сработает.

— Вы меня не дослушали, мсье, — возражает черт, —

а украинская поговорка недаром советует поперед батьки в пекло не лезть. Между прочим, в преисподней этот афоризм пользуется огромным успехом. Ко-ко!.. Так вот, да будет вам известно, что выбраться отсюда не так-то просто. Прежде всего из четырех дверей надо отобрать три, непременно соседние. Помимо того, у каждой из этих трех можно нажать только одну кнопку, причем двери эти также должны непременно следовать одна за другой — перескакивать через одну нельзя! А выйдем мы отсюда только в том случае, если из трех нажатых кнопок угаданы будут две, расположенные опять-таки у соседних дверей.

Фило безнадежно машет рукой. Ну и задачка! Попробуй тут угадай, с какой двери выгодней начинать…

Зачем же гадать, мсье? Достаточно подумать.

— Ну, если так… Тогда, наверное, лучше начинать с той, где кнопок меньше.

— Это почему же? — интересуется Мате.

— Потому что там, где кнопок меньше, вероятность угадывания, естественно, больше. Кроме того, в этом случае двери с наименьшим числом кнопок нам встретятся дважды, а с наибольшим — только единожды. Логично или нелогично?

— Логично, но… неправильно.

Мате достает свой блокнот и вычерчивает круг с четырьмя дверьми.

— Допустим, мы начинаем с северной двери, где кнопок меньше, и угадываем нужную кнопку, но зато просчитываемся на следующей, восточной. Что нас ждет в этом случае?

— В этом случае сидеть нам здесь до второго пришествия, — мрачно острит Асмодей.

— Правильно. Если же начать с восточной или западной, где кнопок больше, то, даже просчитавшись на ней, мы все-таки можем угадать кнопки у двух последующих.

— Ха, ха и в третий раз ха! — выходит из себя Фило. — По-вашему, две трудные двери и одна полегче лучше, чем две полегче и одна трудная? Ну, знаете! Это еще надо доказать.

— И докажу!

Мате снова берет свой чертеж и начинает рассуждать.

— Как всегда, прибегнем к таблице и условимся передвигаться по часовой стрелке. Тогда у нас есть два варианта: СВЮ (мы начинаем с северной двери) и ВЮЗ (начинаем с восточной). В каждом из этих вариантов возможны только три благоприятных случая. Рассмотрим их, обозначив латинскими буквами a, b, с, а вероятности отгадывания — через р₁ для варианта СВЮ и р₂ для варианта ВЮЗ.

Итак, в обоих вариантах благоприятные случаи

такие: а) кнопки у всех трех дверей угаданы; b) угаданы кнопки только у первых двух дверей и с) угаданы кнопки у второй и третьей двери. Вероятность угадать кнопку у северной и южной дверей равна 1/8, а у восточной 1/14. И так как угадывание кнопок у любой двери не зависит от результатов предыдущих угадываний, то в каждом из трех случаев вероятность равна произведению частных. Тогда в случае а варианта СВЮ:

p₁ = 1/8 1/14 1/8,

что равняется 1/896. Понятно?

— Пока да. Но вот откуда в варианте b у вас появилось 7/8?

— Раз вы так наблюдательны, значит, должны были заметить, что 7/8 — это вероятность неугадывания. Ведь если вероятность угадывания равна 1/8, то вероятность неугадывания, естественно, равна 1 - 1/8, то есть 7/8. Ну, а теперь нетрудно найти вероятность для всех трех случаев. Надо только сложить вероятности каждого.

— Позвольте, позвольте, — возражает Фило. — То вы перемножали, а теперь вдруг складываете…

— Что же вас смущает? Умножал я потому, что угадывания кнопок у каждой двери не зависят друг от друга и, стало быть, совместимы. Но ведь три случая — a, b и с не могут произойти одновременно. Значит, к ним применима теорема сложения, а не умножения вероятностей. Ну как? Теперь ясно? По лицу вижу, что ясно. В таком разе покончим с нашей задачей, вычислив общую вероятность для каждого варианта в отдельности: p₁ = 15/896; p₂ = 27/1568. Иначе говоря, p₁ = 210/12544, а p₂ = 216/12544. Так кто же был прав? Я или вы?

Фило обиженно таращится на таблицу. Пусть так! Прав Мате. Но не все ли равно, что стоит в числителе — 210 или 216 — при таком-то огромном знаменателе? Вероятность угадывания смехотворно мала и в том и в другом случае!

— Следовало ожидать, мсье, — говорит бес, небрежно помахивая тросточкой.

Фило так и подпрыгивает на своей подстилке!

— Вот как! — шипит он, дрожа от ярости. — Выходит, вы знали об этом заранее? Зачем же я как дурак решаю ваши идиотские задачи, если они все равно никаких дверей не откроют и к Монтальту меня не приведут?

— То есть как это — зачем? — притворно удивляется тот. — Конечно же, для тренировки. Для усовершенствования вашего математического мышления.

— Не хочу мышления! — буйствует Фило. — Хочу к Монтальту! Хочу, чтобы открылись двери!

Асмодей оставляет наконец в покое свою тросточку и шумно вздыхает. Ничего не поделаешь! Если мсье так уж не терпится, двери, на худой конец, можно открыть и другим способом.

Он великолепным жестом достает из кармана большой позеленевший ключ, беззвучно вставляет его в замочную скважину…