Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков
Шрифт:
— По известной формуле, — сейчас же соображает Асмодей. — Квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разностей координат этих точек, иначе говоря
d2 = (X1– X2)2 + (Y1– Y2)2
— Очень хорошо. Подставим в эту формулу координаты соответствующих вершин треугольника. Тогда:
ОА2 = 42 + 52 = 41, а ОА = 41; OB2 = 81,
Ну, а теперь построим на сторонах нашего треугольника новые треугольники, на сей раз равносторонние. Намечаю их пунктиром. Буквами п, т и р обозначим точки пересечения медиан в каждом из них. Это и будут их центры тяжести. Точки эти, как известно, находятся на расстоянии двух третей медианы, считая от вершины. В первом равностороннем треугольнике это Am = Oт. Во втором — An = Вп. В третьем — Вр = Ор. Но так как в равностороннем треугольнике медианы являются в то же время и высотами, а высота в этом случае равна половине стороны, умноженной на 3, то
Am = mO = 2/3 AO3/2 = AO3/3,
An = Bn = AB3/3 и
Bp = Op = OB3/3.
Иначе:
(Am)2 = (mO)2 = AO2/3 = 41/3;
(An)2 = (Bn)2 = AB2/3 = 50/3;
(Bp)2 = (Op)2 = OB2/3 = 27.
Мате на мгновение отрывается от чертежа и, убедившись, что Фило еще жив, продолжает:
— Далее обозначим искомые координаты центров тяжести равносторонних треугольников. Точки т: х1,у1 ; точки п: х2, y2; точки р: x3, у3. Займемся сперва одним треугольником и по известной уже нам формуле о квадрате расстояния между двумя точками вычислим, что
(Am)2 = (Om)2 = (x1– 4)2 + (y1– 5)2 = x12 + y12 = 41/3.
Решая систему двух уравнений:
(x1– 4)2 + (y1– 5)2 = x12 + y12 и
x12 + y12 = 41/3,
найдем, что
x1 = 2 ± 53/6; y1 = 2,5 ± 2/33.
— А как это у вас получилось? — неожиданно для себя самого интересуется Фило.
— По-моему, это понятно всякому школьнику, — сердито отвечает Мате.
— Допустим. А как
— Ну, а это уж где как. Обратите внимание на то, что первые слагаемые (2 и 2,5) — это координаты середины стороны ОА. В самом деле:
(O + 4)/2 = 2 и (O + 5)/2 = 2,5.
А точка т лежит слева от этой середины, но выше ее. Следовательно, в первом равенстве (x1) надо сохранить знак минус, а во втором (у1) знак плюс. Поэтому окончательно:
x1 = 2 - 53/6; y1 = 2,5 + 2/33.
Точно таким же образом найдем координаты точек п и р:
х2 = 6,5 + 5/63, у2 = 2,5 + 5/63;
x3 = 4,5, y3 = -3/23.
Остается вычислить расстояния между т и n, п и р, р и т. Обозначим их буквой d с соответствующими индексами: mn, np и рт. Тогда:
d2mn = (6,5 + 5/63 - 2 + 5/63)2 + (2,5 + 5/63 - 2,5 - 2/33)2 = 86/3 + 153.
Если теперь вычислить d2np и d2pm, окажется, что все три результата одинаковы:
d2mn = d2np = d2pm = 86/3 + 153.
Ну, а раз равны квадраты расстояний, то равны и сами расстояния. Стало быть, соединив точки т, п и р, мы получим равносторонний треугольник.
— Квод демонстрандум эрат! Что и требовалось доказать, — торжественно заключает Асмодей.
— Не забудьте рассмотреть еще два частных случая первоначального треугольника, — суетливо напоминает Мате. — Когда сумма двух сторон равна третьей и когда одна из сторон равна нулю. — Он протягивает Фило и Асмодею заранее заготовленные чертежики. — Как видите, моя теорема справедлива также и для них.
— Благодарю вас, мсье! Поверьте, мне было чрезвычайно интересно! Поздравляю с удачей! — рассыпается бес, но вдруг совершенно неожиданно зевает и страшно смущается. — Пардон, мсье! Не подумайте, что это от вашей теоремы. Всему виной чай. Он всегда действует на меня, как снотворное. С вашего разрешения я вздремну немножко…
Он взлетает на верхнюю полку и скрывается в книге Лесажа, с силой захлопнув за собой картонную обложку. В ту же минуту оттуда начинает исходить легкое блаженное похрапывание: «Хрр-фью… хрр-фью…»
Филоматики растроганно переглядываются.
— Перерыв?
— Перерыв!
Вечер чайного дня
— Открываем наше вечернее заседание, — объявляет Фило, когда все они снова сидят за столом и Асмодей кулачком протирает заспанные глаза. — Что у нас на повестке… пардон, на чашке дня?