101 головоломка
Шрифт:
65. Две цепи
Найдены два обрывка железной цепи, составленные из одинаковых звеньев. Один обрывок, будучи растянут, занимает в длину 36 см, другой – 22 см. Толщина кольца – полсантиметра. В длинной цепи на 6 звеньев больше, чем в короткой.
Сколько звеньев в каждом обрывке?
Рис. 71. Мой ящик.
66. Мешки
Мельнику потребовалось взвесить 5 мешков с мукой. У него имелись весы, но не хватало некоторых гирь, и поэтому невозможно было взвесить меньше, чем 100 кг. Мешки же весили около 60 кг каждый.
Мельник не растерялся и стал взвешивать мешки по два, парами. Из 5 мешков можно составить 10 различных пар: поэтому пришлось сделать 10 взвешиваний. Получился ряд чисел, который приведен здесь в возрастающем порядке:
110 кг, 112 кг, 113 кг, 114 кг, 115 кг,
116 кг, 117 кг, 118 кг, 120 кг, 121 кг.
Но сколько же весит каждый мешок в отдельности? Как это узнать?
Мельник справился с задачей довольно быстро. Вероятно, и вы догадаетесь, как она решается.
67. Три дочери и два сына
Дядя приехал навестить своих двух племянников и трех племянниц, которых давно не видел.
Первыми вышли к нему маленький Володя с сестренкой Женей, и мальчуган гордо объявил дяде, что он в два раза старше своей сестры.
Затем выбежала Надя, и вошедший с нею папа сказал гостю, что обе девочки вдвое старше мальчика.
Когда пришел из школы Алеша, папа объявил, что мальчики вместе вдвое старше обеих девочек.
Позднее всех пришла Лида и, увидев гостя, радостно воскликнула:
– Дядя, вы приехали как раз в день моего рождения! Мне сегодня исполнился 21 год!
– И знаете еще что, – прибавил отец, – я сейчас сообразил, что мои три дочери вместе вдвое старше обоих моих сыновей.
Сколько же лет было каждому сыну и каждой дочери?
68. Две свечи
Внезапно погас электрический свет во всей квартире – испортилась проводка. Чтобы не прерывать работы, я зажег две свечи, стоявшие на моем письменном столе на всякий случай, и при их свете занимался до тех пор, пока проводка не была приведена в исправность.
Спустя день мне понадобилось узнать, на сколько именно времени было прервано электрическое освещение. Я забыл отметить по часам, когда выключили свет и когда его включили снова. Не помнил я и длины свеч. Знаю только, что одна свеча была потолще, такие свечи сгорают целиком за 5 часов, другая – потоньше и могла бы сгореть за 4 часа. Ищу огарки – и не нахожу: домашние выбросили их.
– Какой же они были длины? – спрашиваю у них.
– Один был совсем маленький, а другой побольше.
– Во сколько же раз больше? Вдвое?.. Не помните ли этого? – допытывался я.
– Ровно в четыре раза, – ответили мне. Итак, стало известно только то, что один огарок был в четыре раза длиннее другого. Возможно
69. Девятьсот поклонов
В одной школе обучалось вдвое больше девочек, чем мальчиков. Заведующий ввел обычай: ежедневно поутру каждый мальчик должен был делать поклон заведующему, каждому из своих товарищей-мальчиков и каждой девочке, каждая девочка также должна была делать поклон заведующему, каждой своей подруге и каждому мальчику. Этот церемонный обычай строго соблюдался, и поэтому ежедневно утром можно было насчитать 900 поклонов. Сколько было в школе мальчиков и девочек?
70. Наследство раджи
Некий раджа, умирая, оставил свои брильянты сыновьям. В завещании его дети прочитали: старший сын получает 1 брильянт и седьмую долю всех остальных; второй сын получает 2 брильянта и седьмую долю всех остальных; третий сын – 3 брильянта и седьмую долю всех остальных; четвертый – 4 брильянта и седьмую долю всех остальных и т. д. Таким образом наследство было разделено между сыновьями без остатка.
Сколько сыновей было у раджи и сколько он оставил брильянтов?
Решения задач 61-70
61. Сторож рассчитал совершенно правильно: ему действительно причиталось даже более трех тысяч возов яблок, как это ни невероятно.
В самом деле. Проследим, как возрастало вознаграждение сторожа с каждым часом.
За 1-й час сторож должен был получить яблоко, за 2-й час – 2 яблока, за 3-й час – 4 яблока, за 4-й – 8, за 5-й – 16, за 6-й – 32, за 7-й – 64, за 8-й – 128, за 9-й – 256, за 10-й – 512.
Пока еще вознаграждение как будто не грозит арендатору разорением: за первые 10 часов сторожу причиталось всего около полутысячи яблок.
Но продолжим исчисление.
За 11-й час сторожу следовало 1024 яблока, за 12-й– 2048, за 13-й– 4096, за 14-й– 8192, за 15-й– 16 384.
Накапливается внушительное число яблок, но все же до трех тысяч возов еще далеко.
Далее.
За 16-й час следовало 32 768 яблок.
За 17-й —»-»– 65 536 —»—
За 18-й —»-»– 131 072 —»—
За 19-й —»-»– 262 144 —»—
За 20-й —»-»– 524 288 —»—
Арендатор уже должен сторожу свыше полумиллиона яблок. Но сутки не кончены – остается еще 4 часа.
За 21-й надо было уплатить 1 048 576 яблок
За 22-й —»-»-»– 2 097 152 —»—
За 23-й —»-»-»– 4 194 304 —»—
За 24-й —»-»-»– 8 388 608 —»—
Теперь нужно сложить все эти числа от 1 до 8 388 608. Получаем 16 777 215 яблок. Итак, сторожу за одни сутки следовало согласно уговору почти 17 миллионов яблок! Чтобы только пересчитать такое количество яблок по одному в секунду, понадобилось бы полгода непрерывного счета! Полагая по 10 яблок на килограмм, узнаем, что все причитающиеся сторожу яблоки должны были весить 1 677 721 кг, или 1678 тонн.