200 занимательных логических задач

Гусев Дмитрий Алексеевич

Фокус можно разнообразить, предложив собеседнику (теперь поменяемся с ним местами) задумать какое-либо число и, не называя его вам, вслух производить с ним те математические действия, какие он пожелает. Например, он говорит вам: «Я задумал число, прибавил к нему 2, результат умножил на 5…» и т. п. Вы же в уме проделываете те же действия с числом х. После этого, он сообщает вам результат своих операций, а вы, быстро составляя и решая в уме простое уравнение, «отгадываете» задуманное им число. (Желательно внести ограничение в совершаемые собеседником математические действия, исключив операцию деления, т. к. она значительно усложнит фокус, т. е. пусть он производит с числом только сложение, вычитание и умножение). Необходимо добавить, что в том случае, когда собеседник производит математические действия сам, может получиться, что из уравнения исчезнет х. Например, на каком-то этапе у вас получается х + 20, а

собеседник говорит: «Теперь я отнимаю задуманное число». У вас получается х + 20 – х = 20. В этом случае надо попросить его не называть конечного результата всех операций, который, к удивлению собеседника, сообщаете ему вы.

179.

180. На первый взгляд кажется, что наибольшее число, которое можно выразить тремя любыми цифрами безо всяких знаков действий – это 999. Однако гораздо большие числа обозначаются выражениями 99⁹ и 9⁹⁹. Но и эти числа будут ничтожно малы по сравнению с тем числовым великаном, который скрывается за записью 9⁹⁹. Это выражение решается так: 9⁹⁹ = 9^{387 420 489}, т. е. надо найти произведение 387 420 489 девяток, сделав примерно 400 миллионов умножений. Число, которое должно при этом получиться, никому неизвестно, никем не вычислено и не имеет никакого названия. Оно столь велико, что найти его не представляется возможным. Известный отечественный популяризатор науки Я.И. Перельман в своей книге «Занимательная арифметика», пишет, что это число, набранное обыкновенным типографским шрифтом, имело бы в длину примерно 1000 км; если некто взялся бы его записать, то, записывая по две цифры в секунду, он, не переставая, трудился бы день и ночь на протяжении 7 лет; наконец, во вселенной не будет такого количества электронов, какое обозначено этим числом. Если у вас есть компьютер, попробуйте с его помощью вычислить данное число. Ваша думающая электронная машина «скажет» вам, что не может справиться с этой задачей. Видимо, для этого ей не хватит ни мощности, ни оперативной памяти, ни объема жесткого диска… Вот какой удивительный числовой исполин скрывается за внешне скромным выражением 9⁹⁹.

181. Доску надо распилить по диагонали, сдвинуть одну из половинок вверх и приклеить ее, наращивая тем самым длину доски до 100 см, после чего отпилить лишние треугольники сверху и снизу (см. рисунок).

В данном случае задача решается с помощью трех отпиливаний и только одного склеивания, при котором книжная полка будет отличаться большей прочностью по сравнению с предыдущим способом склеивания (см. условие задачи).

182. Для решения этой задачи надо воспользоваться теоремой Пифагора. Если стороны треугольника удовлетворяют условию a² + b² = c², то он обязательно содержит прямой угол. Числа а, в, с из указанного равенства обычно называются пифагоровыми числами, или пифагоровыми основаниями. Значит, если построить треугольник, стороны которого являются пифагоровыми основаниями, то он всегда будет прямоугольным. Первая в натуральном ряду тройка чисел, представляющих собой пифагоровы основания, – это 3, 4, 5 (3² + 4² = 5²). Построив треугольник со сторонами, равными трем, четырем и пяти каким-либо частям (так называемый «золотой треугольник»), мы обязательно будем иметь прямой угол. Такой треугольник можно соорудить безо всяких специальных измерительных инструментов, с помощью любых подручных средств: спичек, карандашей, ниток, веревок и т. п. В натуральном ряду существует бесконечное множество других троек пифагоровых чисел (5 – 12–13, 7 – 24–25, 9 – 40–41, 11–60 – 61, 13–84 – 85, 15 – 8 –17 и т. п.), но наиболее простыми и удобными для практического использования при построении прямых углов являются, конечно же, тройка, четверка и пятерка.

183. Любое двузначное число, умноженное на 10101, дает само себя, продублированное два раза в виде шестизначного числа:

17 x 10101 = 171717

23 x 10101 = 232323

39 x 10101 = 393939

Это

происходит по следующей причине:

Таким образом, любое шестизначное число вида ababab делится без остатка на 10101 и в результате дает число вида ab. Но 10101 можно представить как произведение: 3 x 7 x 13 x 37, значит, любое число вида ababab будет без остатка делиться последовательно и на 3, и на 7, и на 13, и на 37 (последовательность, разумеется, может быть любой) и в результате даст число вида ab (см. также задачу 98). Фокус можно разнообразить, если учесть, что число 10101 можно представить и в виде произведения других множителей:

21 x 13 x 37

7 x 39 x 37

3 x 91 x 37

7 x 13 x 111

(См. также задачу 98).

184. Может показаться, что для набивки огромной папиросы потребуется в 20 раз больше табака, чем для набивки обыкновенной, т. е. 10 граммов. Однако это не так. Если папироса, выставленная в витрине магазина, длиннее и шире обыкновенной в 20 раз, то ее объем будет больше не в 20, а в 8 000 раз. В этом нет ничего удивительного: папироса представляет собой цилиндрическое тело, а объем цилиндра вычисляется по формуле R²h, где R – это радиус основания цилиндра, а h – его высота. Если толщина цилиндра увеличивается в 20 раз, значит, радиус его основания увеличивается в 20 раз, а выражение R² из формулы увеличивается в 20 x 20 раз. А поскольку длина папиросы также увеличена в 20 раз, то ее объем увеличивается в 20 x 20 x 20 раз. Таким образом, для набивки огромной папиросы потребуется не в 20, а в 8 000 раз больше табака, т. е. не 10 граммов, а 4 килограмма.

185. Сумма всех чисел циферблата равна 78, следовательно, сумма чисел каждого из шести участков циферблата, на которые его требуется разделить, равна 78: 6 = 13. Это рассуждение помогает найти решение задачи:

186. Можно предположить, что совокупный объем первых двух коробок больше объема третьей коробки, неверно рассуждая примерно так: «Первая коробка на 3 см меньше третьей, а вторая – всего на 1 см, значит, первая и вторая коробки вместе, конечно же, занимают больший объем, чем третья коробка». Однако длина ребра куба и его объем не находятся в столь простой зависимости, как может показаться. Простой расчет показывает, что совокупный объем первых двух коробок меньше объема третьей:

6³ + 8³ = 216 + 512 = 728

9³ = 729

728 < 729

187. На первый взгляд великан должен быть тяжелее карлика в два раза. Однако это не так. Если линейные размеры тел увеличиваются в х раз, то их объемы увеличиваются примерно в х³ раз (увеличение объема любого тела так или иначе связано с кубическим увеличением его линейных размеров). Таким образом, двухметровый великан будет объемнее и тяжелее карлика не в два раза, а примерно в восемь раз.

188. Если часы показывают семь часов (неважно – вечера или утра), то между концами часовой и минутной стрелок заключена дуга в 5/12 полной окружности, соответствующая 25 минутам на циферблате. Пять минут на циферблате соответствуют 1/12 полной окружности или, в градусной мере, – 360: 12 = 30°. Следовательно, 5/12 полной окружности составляют 150°, т. е. часовая и минутная стрелки в семь часов образуют угол в 150°.

189.

190. В задаче ничего объяснять не надо: перелет в обоих направлениях занимает одно и то же время, ведь 1 ч. 20 мин. = 80 мин.

Эффект этой шуточной задачи основан на том, что невнимательному человеку может показаться, будто бы 1 ч. 20 мин. является большим временным интервалом, чем 80 мин. Причина такой иллюзии кроется в нашей привычке к десятичной системе мер и денежных единиц: мы часто непроизвольно и бессознательно оцениваем 1 ч. 20 мин. и 80 мин. как 1р. 20 коп. и 80 коп. Задача рассчитана как раз на эту психологическую ошибку.