А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
Путь Фидо представлен на графике в координатах время — расстояние. Куда будет обращена морда Фидо — к хозяину или к хозяйке, когда Том и Мэри встретятся посредине разделявшего их километрового отрезка?
На
Том. Сколько пробежал Фидо?
Но чтобы ответить на этот вопрос, мне нужно просуммировать длину бесконечно многих звеньев ломаной! Это очень трудная задача, Мэри!
Мэри. Совсем не трудная, милый! Мы идем со скоростью 2 км/ч. Значит, каждый из нас проходит полкилометра за 15 мин. Так как сначала нас разделяло расстояние 1 км, мы встречаемся через 15 мин.
Мэри. Фидо бегает со скоростью 8 км/ч. За четверть часа он пробегает 2 км. Вот и все.
Том. Здорово! Мне даже не понадобился микрокалькулятор.
Предположим теперь, что Том, Мэри и Фидо находятся там, где они встретились. Том и Мэри идут той же дорогой с той же скоростью, но в обратном направлении, а Фидо бегает от одного из них к другому со скоростью 8 км/ч. Где будет Фидо, когда расстояние между Томом и Мэри снова станет равным 1 км?
Невероятно, но факт: Фидо не может находиться нигде между Томом и Мэри! Не верите? Убедитесь сами. Пусть вначале Фидо находится в любой точке километрового отрезка, разделяющего Тома и Мэри, которые начинают идти навстречу друг другу. Где бы ни находился Фидо, через 15 мин все трое сойдутся в центре отрезка.
Первая задача (Том и Мэри идут навстречу друг другу, а Фидо бегает между ними туда и обратно) классическая. Она существует в различных вариантах.
Иногда это задача о мухе, летающей туда и обратно между двумя сближающимися локомотивами, иногда— задача о птичке, порхающей между двумя едущими во встречных направлениях велосипедистами.
Рассказывают, что когда эту задачу предложили американскому математику Джону фон Нейману, тот сразу назвал правильный ответ. «Поздравляю! — сказал собеседник фон Неймана, сообщивший ему задачу. — Большинство людей пытаются решить
Итак, в какую сторону будет обращена морда Фидо в тот момент, когда Том и Мэри сойдутся посредине разделявшего их километрового отрезка? Задать такой вопрос все равно что спросить, будет ли включена или выключена лампа Томсона по окончании всех манипуляций с выключателем, или в какой из двух лунок, А или В, окажется в конце концов шарик. Это только кажется, будто Фидо должен быть обращен мордой либо к хозояину, либо к хозяйке. В действительности же любой ответ подразумевает, что существует последнее натуральное число (звеньев ломаной, по которой бежит собака), которое либо четно, либо нечетно.
Но если мы обратим процесс сближения Тома, Мэри и Фидо во времени, заставив Мэри и Тома расходиться из середины километрового отрезка, а Фидо по-прежнему бегать между хозяином и хозяйкой, то возникнет новый парадокс. Наша интуиция подсказывает нам, что если некую однозначно определенную процедуру обратить во времени, то есть изменить направление всех движений на противоположное, то мы должны вернуться к тому, с чего начали. Однако в рассматриваемом случае процедура при обращении времени утрачивает однозначную определенность. Если события развиваются от начала к концу, то Фидо оказывается в середине километрового отрезка, разделявшего Тома и Мэри. Но если события развиваются от конца к началу, то место, где будет находиться Фидо, когда Том и Мэри разойдутся на 1 км, невозможно указать однозначно: пес может находиться в любой точке отрезка.
Более подробный анализ этого парадокса проведен Весли Солмоном (Scientific American, декабрь 1971).
И задача о двух хозяевах и их верной собаке, и парадоксы Зенона, и лампа Томсона могут служить описательным введением в теорию пределов и суммирования бесконечной геометрической прогрессии.
Ломаная, по которой бежит Фидо, похожа на траекторию прыгающего мячика Вот несложная задача о таком мячике. Предположим, что круглый мяч брошен на пол с высоты 1 м. Высота, на которую подпрыгивает мяч, каждый раз вдвое меньше предыдущей.
Если каждый подскок длился бы 1 с, то мяч прыгал бы вечно. Но как и в парадоксах с бегуном Зенона, машиной, перемещающей шарик из лунки в лунку, и Фидо, на прохождение каждого следующего отрезка траектории требуется меньше времени, чем на прохождение предыдущего. Очередной подскок занимает 1/2 от продолжительности предыдущего подскока. Последовательность времен сходится. Следовательно, по истечении конечного промежутка времени мяч остановится, хотя теоретически он подпрыгнет бесконечно много раз. Суммарная высота всех подскоков составит 1 + 1/2 + 1/3 +… + 1/n = 2 м.
Предположим, что мяч подпрыгивает каждый раз на высоту, составлявшую 1/3 от предыдущей. Какова суммарная высота всех подскоков в этом случае?
При обращении некоторых движений, например если кто-нибудь вздумает пятиться или автомашина поедет задним ходом, создается почти полное впечатление, будто время течет вспять.