Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Шрифт:
В четвертом тысячелетии до н. э. в Шумере, древнем государстве, находившемся на территории современного Ирака, эта система символов превратилась в систему записи — на незатвердевшей глине заостренной палочкой из тростника делались специальные отметки. Числа сначала записывались как кружки или овалы, подобные форме ногтей. Около 2700 года до н. э. у палочки для письма появился плоский край, и отметки стали выглядеть примерно как следы, оставленные птичьими лапками, причем отметки различной формы соответствовали различным числам. Возникшее таким образом письмо, названное клинописью, ознаменовало начало долгой истории западных систем письма. И тут просто напрашивается занятная мысль: а ведь вся писменность (и литература), в конце концов, оказалась побочным продуктом развития системы численных обозначений!
В клинописи имелись символы только для чисел 1, 10, 60 и 3600, а это означает, что система представляла собой смесь систем с основанием 60 и с основанием 10, ведь основные клинописные символы соответствуют числам 1, 10, 60 и 60 x 60. Почему шумеры группировали числа
Вавилоняне, совершившие колоссальный вклад в развитие математики и астрономии, приняли шумерскую шестидесятеричную систему. Вслед за ними египтяне, а потом и греки положили вавилонскую систему в основу измерения времени — именно по этой причине и поныне в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут. Мы настолько привыкли выражать время по основанию 60, что никогда не задаемся вопросом, почему так делаем, хотя в действительности объяснить это нелегко. В революционной Франции, впрочем, нашлись такие, которые страстно возжелали устранить все то, что не укладывалось в десятичную систему. В 1793 году, когда Национальный Конвент учредил метрическую систему мер и весов, была также сделана попытка перейти на метрическое время. Был подписан декрет, устанавливающий, что каждый день следует делить на десять часов, каждый час — на 100 минут, а каждую минуту — на 100 секунд [6] . Как несложно посчитать, в сутках тем самым оказалось 100 000 секунд — вместо обычных 86 400 (что есть 60 x 60 x 24). Революционная секунда при этом имела продолжительность несколько меньшую, чем обычная. В 1794 году десятичное время стало обязательным, и тогда же стали выпускать часы с циферблатом, на котором были указаны цифры от одного до десяти. Однако большинство населения нашло новую систему сбивающей с толка, и спустя лишь немногим более полугода от нее пришлось отказаться. Помимо просто непривычности революционного времени сыграл свою роль и тот факт, что час из 100 минут не так удобен, как час из 60 минут, потому что у 100 не так много делителей, как у 60. Число 100 делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25 и 50, а 60 — на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30.
6
Система имеет своих приверженцев и поныне. Любопытны ссылки Установить (работающие) метрические часы на свой компьютер можно отсюда: ( Примеч. перев.)
Провалился и другой проект по децимализации времени, имевший место в более близкую к нам эпоху. В 1998 году швейцарская компания «Swatch» предложила «Swatch Internet Time», где сутки были разделены на 1000 частей, названных «битами» (продолжительностью 1 минута 26,4 секунды). Компания выпустила специальные часы, выражавшие «революционный взгляд на время». Они продавались около года, после чего стыдливо исчезли из магазинов и каталогов.
По правде говоря, французы и швейцарцы — не единственные из западных наций, кто еще не так давно пытался использовать для счета довольно нелепые процедуры. Счетные палочки с насечками, морально устаревшие уже в те времена, когда первый шумерский писец создал свою первую клинописную табличку, использовались в Великобритании как средство денежного обращения вплоть до 1826 года. Банк Англии [7] выпускал «откалиброванные» счетные палочки (так называемые «бирки»), денежная стоимость которых определялась на основании нанесенных на них насечек. Документ, составленный в 1186 году лордом-казначеем епископом Ричардом Фицнилом, устанавливал следующие денежные эквиваленты для бирок:
7
Банк Англии был основан в 1694 году. Вероятно, имеется в виду Государственное казначейство. ( Примеч. перев.)
| Фунты стерлингов | |
|---|---|
| lb 1000 | ширина ладони |
| lb 100 | ширина большого пальца |
| lb 20 | ширина мизинца |
| lb 1 | ширина разбухшего ячменного зерна |
Процедура, которую применяло Казначейство, на самом деле состояла в том, что палочку разламывали на две части, называемые stock («ствол») и foil («остаток»). На каждой половине оставались насечки, которые соответствовали сумме сделки или долга. «Ствол» оставался заемщику, а «остаток», который служил долговой распиской, — должнику. Если кто-то одалживал деньги Банку Англии, то ему давали «ствол» с насечками, обозначавшими количество данных в долг денег, — чем и объясняется происхождение терминов «stockholder» (владелец акций) и «stockbroker» (биржевой маклер), — банк же оставлял у себя «остаток», на котором также имелись соответствующие насечки. Два куска бирки складывались, чтобы проверить сумму долга.
Подобная практика сошла на нет без малого два столетия назад. В 1834 году Казначейство решило сжечь старые,
Самое известное из альтернативных оснований — это 2, а соответствующая система счисления называется двоичной; числа в ней обычно выражаются с помощью цифр 0 и 1. Числа в двоичной системе записываются так, как если бы в системе с основанием 10 можно было использовать только цифры 0 и 1. Это последовательность, которая начинается как 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000. Таким образом, 10 — это два, 100 — четыре, 1000 — восемь и так далее, где каждый следующий нуль справа выражает собой результат умножения на два. (И в системе с основанием 10 то же самое — добавление нуля в число справа дает результат умножения этого числа на 10.)
В число своих поклонников двоичная система может с гордостью записать величайшего математика из всех, когда-либо увлекавшихся нестандартными основаниями. Это — Готфрид Лейбниц, один из величайших мыслителей конца XVII столетия — ученый, философ и государственный деятель. Среди множества его занятий было и исполнение обязанностей библиотекаря при дворе герцога Брауншвейгского в Ганновере. Лейбниц настолько вдохновился системой счета с основанием 2, что однажды даже написал письмо герцогу, побуждая его отлить серебряный медальон со словами imago creationis —«в образе мира» — как дань уважения двоичной системе. Для Лейбница двоичная система имела и практическую, и духовную значимость. Во-первых, он полагал, что ее возможности в описании любого числа в терминах удвоений упрощают все виды операций. «Она позволяет лаборанту взвешивать все виды масс, используя лишь несколько весов, а при отливке монеты может обеспечить большую ценность при меньшем числе», — писал он в 1703 году. Лейбниц признавал, что у двоичной системы имеются некоторые недостатки, так, числа при записи получаются намного длиннее (например, десятичная 1000 в двоичной системе записывается как 1 111 101 000), однако он добавлял: «Зато она играет более фундаментальную роль для наук и приносит новые открытия». Изучение симметрий и закономерностей в двоичных обозначениях, утверждал он, позволяет глубоко проникнуть в суть математики, а теория чисел благодаря этому становится богаче и разностороннее.
Но особенно восхищало Лейбница поразительное согласие между двоичной системой и его религиозными воззрениями. Он верил, что в основании всех явлений лежит «бытие» (или субстанции) и «небытие» (или «ничто»). Эта двойственность идеально выражалась числами 1 и 0. Подобно тому как Бог создал все бытие из пустоты, все числа можно записать в терминах единиц и нулей. К немалой радости Лейбница, его убежденность в том, что в двоичной системе выражена фундаментальная метафизическая истина, получила подтверждение, когда позднее он познакомился с древним китайским мистическим текстом «И Цзин» — «Книгой Перемен». С помощью этой книги можно заглянуть в будущее. В ней содержится 64 различных символа, каждый из которых сопровождается набором афоризмов. Гадающий случайным образом выбирает какой-то символ (традиционно — бросая веточки тысячелистника) и интерпретирует соответствующие комментарии — получается нечто вроде того, что можно прочитать в астрологическом прогнозе. Каждый символ в «Книге Перемен» представляет собой гексаграмму, то есть составлен из шести горизонтальных линий. Эти линии могут быть целыми (им соответствует ян) или иметь разрывы (им соответствует инь). Все 64 гексаграммы в «Книге Перемен» представляют собой полный набор комбинаций, составленных из инь и ян, сгруппированных по шесть.
Особенно изящный способ упорядочить все гексаграммы показан на рисунке. Если каждый янь записывается как 0, а каждый инь — как 1, то выписанная последовательность в точности соответствует двоичным числам от 0 до 63.
Это упорядочение известно также как последовательность Фу Си [8] . (Строго говоря, это упорядочение, обратное последовательности Фу Си, но математически они эквивалентны.) Лейбниц обнаружил двоичную природу последовательности Фу Си и, в соответствии с этим, «высоко оценил глубину „Книги Перемен“». Поскольку он считал, что двоичная система отражает Божественный промысел, сделанное им открытие, что она лежит также в основе даоистской мудрости, означало, что восточный мистицизм не противоречит западным религиозным воззрениям. «Субстанция древней теологии китайцев сохранена без потерь и, будучи избавлена от дополнительных ошибок, может быть поставлена на службу великим истинам христианской религии», — писал он.
8
Фу Си —имя мифического создателя китайской цивилизации. ( Примеч. перев.)