Апология математика
Шрифт:
Не требуется глубоких размышлений, чтобы понять абсурдность "литературного предрассудка". В любой цивилизованной стране имеется огромная масса любителей шахмат - в России в шахматы играет почти всё образованное население; и почти каждый любитель шахмат может распознать и оценить "красивую" шахматную партию или задачу. Однако шахматная задача - это просто упражнение по чистой математике (шахматная партия - не вполне, так как психология также играет роль), и каждый, кто называет шахматную задачу "красивой", аплодирует математической красоте, даже если речь идёт о красоте сравнительно низкого рода. Шахматные задачи - это хвалебные песнопения в честь математики.
Тот же урок на более низком уровне, но для более широкой публики мы можем извлечь из игры в бридж или, если спуститься ещё ниже, из тех колонок массовых газет, в которых публикуются головоломки. Почти вся необычная популярность этих игр и развлечений - дань притягательной силе рудиментарной математики,
Я мог бы добавить, что ничто в мире не доставляет большего удовольствия даже весьма известным людям (в том числе и тем из них, кто позволял себе пренебрежительные высказывания о математике), чем открытие или переоткрытие настоящей математической теоремы. Герберт Спенсер[ 115 ] опубликовал в своей автобиографии переоткрытую им теорему об окружностях, которую он доказал, когда ему было двадцать лет (не зная, что она была доказана Платоном более чем двумя тысячами лет раньше). Более свежий и более поразительный пример - профессор Содди (но его теорема действительно принадлежит ему).
115
Спенсер, Герберт (1820-1903) - английский философ.
11
Шахматная задача - настоящая математика, но в каком-то смысле это "тривиальная" математика. Сколь бы изысканными и тонкими, оригинальными и удивительными ни были ходы, нечто существенное всё же отсутствует. Шахматные задачи неважные. Лучшая математика серьёзна и красива - если угодно, "важна", но это слово многозначно, и слово "серьёзна" лучше выражает то, что я хочу сказать.
Я не имею в виду "практические" следствия математики. К этому вопросу мне ещё придётся вернуться в дальнейшем, а пока скажу лишь, что если шахматная задача, грубо говоря, "бесполезна", то о лучшей математике большей частью можно сказать то же самое, и лишь очень малая толика математики практически полезна, и что эта малая часть математики сравнительно неинтересна. "Серьёзность" математической теоремы кроется не в практических следствиях из неё, (обычно они ничтожны), а в значимости математических идей, между которыми теорема устанавливает взаимосвязь. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что математическая идея "значительна", если её можно естественно и просто связать с широким комплексом других математических идей. Таким образом, серьёзная математическая теорема, теорема, которая связывает значительные идеи, весьма вероятно приводит к существенным продвижениям в самой математике и даже в других науках. Ни одна шахматная задача не оказала влияния на общее развитие научной мысли; Пифагор[ 116 ], Ньютон, Эйнштейн, каждый в своё время, изменили направление научной мысли.
116
Пифагор Самосский (6 и. до н.э.) - древнегреческий мыслитель и математик, основатель пифагорейской школы.
Разумеется, серьёзность теоремы не в её следствиях; следствия лишь свидетельствуют о её серьёзности. Шекспир оказал огромное влияние на развитие английского языка, Отуэй не оказал почти никакого влияния, но Шекспир был лучшим поэтом по иной причине. Он был лучшим поэтом потому, что его поэзия была намного лучше. Незначительность шахматной задачи, подобно поэзии Отуэя, не в её последствиях, а в её содержании.
Существует ещё один вопрос, на котором я остановлюсь очень кратко, не потому, что он не интересен, а потому, что он сложен и я не обладаю должной квалификацией для того, чтобы вести сколько-нибудь серьёзную дискуссию по эстетике. Красота математической теоремы во многом зависит от её серьёзности: даже в поэзии красота строки может в какой-то мере зависеть от значимости заложенных в ней идей. Выше я привёл две шекспировские строки как пример подлинной красоты словесного рисунка, но строка
"Но лихорадка жизни отступила, и крепко спит он."
кажется мне ещё прекрасней. Образ столь же прекрасен, но в этом случае идеи исполнены смысла, тезис здрав, и поэтому строка глубже затрагивает наши чувства. Идеи оказывают существенное влияние на образ даже в поэзии и, естественно, в гораздо большей степени в математике, но я даже не пытаюсь обсуждать этот вопрос сколько-нибудь серьёзно.
12
Становится ясно, что для дальнейшего продвижения мне необходимо привести несколько примеров "настоящих" математических теорем - теорем, которые любой математик сочтет первоклассными. И здесь я оказываюсь
Вряд ли можно предложить лучший выход из положения, чем обращение к математике древних греков. Я сформулирую и докажу две из знаменитых теорем древнегреческой математики. Обе эти теоремы принадлежат к числу "простых" - как по идее, так и по исполнению, но несомненно, при всём этом обе - теоремы высочайшего класса. Каждая из этих теорем так же свежа и значима, как в пору своего открытия. Два прошедших с тех пор тысячелетия не оставили и морщинки на их лике. Наконец, интеллигентный читатель, сколь бы скудным ни был его математический багаж, может за какой-нибудь час одолеть и формулировки, и доказательства этих теорем.
1. Первый пример - предложенное Евклидом доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел( 3 ).
Простыми называются числа
которые не могут быть разложены на меньшие множители( 4 ). Например, 37 и 317 - простые числа. Именно простые числа служат тем материалом, из которого с помощью умножения образуются все числа: например, 666 = 2·3·3·37. Каждое число, которое не является простым, делится по крайней мере на одно простое число (разумеется, обычно оно делится на несколько простых чисел).
3
«Начала», кн. IX, предложение 20. Подлинное происхождение многих теорем в «Началах» Евклида неизвестно, но нет никаких причин предполагать, что эта теорема не принадлежит самому Евклиду.
4
По техническим причинам число 1 простым не считается.
Требуется доказать, что существует бесконечно много простых чисел, т.е. последовательность (1) никогда не кончается.
Предположим, что последовательность (1) кончается, т.е. что 2, 3, 5, ..., P - все входящие в неё числа (таким образом, P - наибольшее простое число). Следуя этой гипотезе, рассмотрим число
Ясно, что Q не делится ни на одно число 2, 3, 5, ..., P, так как при делении на любое из этих чисел даёт остаток 1. Но если число Q не простое, то оно должно делиться на какое-то простое число. Следовательно, существует какое-то простое число (может быть, само число Q), больше, чем любое из чисел 2, 3, 5, ..., P. Это противоречит сделанному нами предположению о том, что не существует простого числа, которое бы превосходило число P, и, следовательно, это предположение неверно.
Метод доказательства reductio ad absurdum (доказательство от противного), столь любимый Евклидом, - один из самых лучших инструментов математика( 5 ). Это гораздо более "хитроумный" гамбит, чем любой шахматный гамбит: шахматист может пожертвовать пешку или даже фигуру, но математик жертвует партию.
13
2. Мой второй пример - предложенное Пифагором( 6 ) доказательство "иррациональности" числа
5
Доказательство может быть организовано так, чтобы избежать использования этого метода, и логики некоторых школ предпочитают не прибегать к доказательство от противного.
6
Доказательство по традиции принято приписывать Пифагору. Оно заведомо является продуктом пифагоровой школы. В гораздо более общей форме теорема встречается у Евклида («Начала», кн. X, предложение 9).