Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике

Коллектив авторов

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА БЕЗ НАЗВАНИЯ

Прокомментируем одно любопытное следствие из теории Кантора. Для этого условимся, что термин «вычисление» и любой эвфемизм называют число, если определяют его точно, не оставляя места недопониманию. Например, «количество дней недели» — обозначение числа 7, как и «сумма чисел 6 и 1». «Соотношение между длиной окружности и ее диаметром» — обозначение числа . «Число, которое начинается с 0,1100010000000 00000000001000..., где первая единица стоит на первом месте после запятой, вторая единица — на месте 1 • 2 = 2, третья единица — на месте 1 • 2 • 3 = 6 и так далее», — название трансцендентного числа Лиувилля. Таким образом, мы можем доказать, что множество всех возможных чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, тогда как множество вещественных чисел ему не эквивалентно. Другими словами, вещественных

чисел больше, чем названий для них. Отсюда следует, что существуют неуловимые вещественные числа, которые нельзя никак назвать и определить. Существует бесконечное количество таких вещественных чисел, хотя и, разумеется, невозможно привести ни одного их примера, так как любое число, которое мы сможем продемонстрировать, обязательно должно обладать названием (которое мы используем, чтобы показать его). Это случай доказательства простого существования, рассуждения, в котором доказывается наличие объектов (однако пример их невозможно найти).

По мнению Кронекера, основу математики составляют целые числа, которые «даны нам природой» и существуют независимо от человеческого разума. Все остальные математические объекты должны быть точно определены исходя из натуральных чисел, миновав конечное количество этапов. Основополагающее значение здесь имеет понятие конечности; Кронекер был твердо убежден, что актуальная бесконечность — это абсурд, и принимал (и то с оговорками) только идею потенциальной бесконечности.

Трансцендентное число Лиувилля для Кронекера не существовало. Он мог бы признать существование потенциально бесконечной последовательности, которая начинается с 0,1, продолжается с 0,11, потом с 0,110001 и так далее, но сказал бы, что выражение 0,1100010000000000000000001000..., в котором, как предполагается, содержится бесконечное количество цифр после запятой, не обозначает никакого существующего математического объекта.

Когда в 1882 году Линдеманн доказал, что — трансцендентное число (см. предыдущую главу), Кронекер выразил восхищение элегантностью его рассуждений, но добавил, что на самом деле они ничего не доказывают, поскольку трансцендентных чисел не существует. Рациональное число 0,333..., по Кронекеру, существует, но только потому, что его можно определить через выражение, в котором используются натуральные числа: 1 /3; причем правильной он считал именно эту запись, а не 0,333..., в которой должно быть бесконечное количество цифр после запятой. Кронекер одним из первых подверг сомнению правильность доказательств простого существования математических объектов, не показывавших, как найти хотя бы один конкретный пример. В предыдущей главе мы убедились, что Кантор доказывал таким образом существование бесконечного множества трансцендентных чисел. Итак, теперь нам понятно, что Кронекер полностью отвергал исследования Кантора в области бесконечности не потому, что считал их ошибочными. Более того, он расценивал их как абсолютно лишенные смысла. По его мнению, говоря о бесконечных множествах или множествах разной степени бесконечности, Кантор рассуждал о несуществующих объектах. Поэтому Кронекер и использовал все возможные рычаги давления, чтобы помешать публикации работ Кантора. В частности, он пытался остановить публикацию статьи в «Журнале Крелле» в 1877 году.

Кронекер и Куммер имеют очень однобокий, я бы даже сказал, почти примитивный подход к математике.

Георг Кантор в письме Гёсте Миттаг-Леффлеру, август 1884 года

Позднее Кронекер публично называл Кантора «отступником», «развратителем молодежи» и «шарлатаном». На нем частично лежит ответственность за то, что Кантору так и не довелось поработать в Берлинском или Геттингенском университетах, о чем он всегда мечтал.

Кантор был очень чувствительной натурой, подверженной депрессиям, поэтому тяжело переживал подобные нападки и разочарования. Со временем они сказались на его душевном здоровье.

ИСТОКИ

Почему Кантор решил заняться изучением бесконечности? Какие научные исследования логически подтолкнули его к рассмотрению актуально бесконечных множеств? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны обратиться к истории вычисления.

Обычно говорят, что вычисление — это область математики, которая занимается бесконечно большими и бесконечно малыми математическими объектами, и хотя она действительно с ними связана, надо признать, что данное определение несколько неточное. На самом деле неточность неизбежна, когда мы хотим охарактеризовать то, что в действительности является одной из самых широких и сложных областей математики. А одним из способов приблизиться к лучшему описанию было бы изложение одной из задач, которую она решает, и используемых ею методов.

Хотя

сегодня вычисление применяется в самых разных областях науки — в биологии, геологии, экономике,— изначально оно было тесно связано с физикой и геометрией. В частности, оно использовалось для нахождения площади фигур, ограниченных кривой. Мы рассмотрим именно этот случай.

Как можно вычислить площадь окружности? Возьмем окружность с радиусом, в полтора раза превосходящим диагональ квадрата со стороной 1 см, который мы примем за единицу измерения площади (см. рисунок 5).

Вопрос будет звучать так: сколько раз эта единица измерения впишется в окружность? Прежде всего, как показано на рисунке 6, можно легко установить, что окружность содержит девять квадратов со стороной 1 см, хотя и видно, что они не заполняют ее целиком. Мы должны заполнить оставшиеся белые области, а поскольку квадраты целиком туда не вписываются, то можем использовать прямоугольники, равные половине квадрата.

РИС. 5

Но и после того как мы разместим их, останутся еще пустые области, которые мы снова заполним прямоугольниками меньшего размера. Чтобы полностью заполнить окружность, нам потребуется бесконечное количество прямоугольников, большая часть которых будет микроскопических размеров (см. рисунок 7). Таким образом, задача о площади окружности тут же привела нас к бесконечно большим величинам (количество прямоугольников) и бесконечно малым. Однако, если мы будем располагать прямоугольники как придется, то не узнаем, сколько квадратов вписывается в окружность. Чтобы заполнить ее, нужен систематический метод, который позволит нам контролировать, какая часть окружности заполняется на каждом этапе. Такой метод был разработан древнегреческим геометром Евдоксом Книдским (408- 355 годы до н. э.). В VI веке до н. э. Евдокс представил правильные многоугольники с возрастающим количеством сторон, углы которых находятся на окружности (в правильном многоугольнике все стороны равны и образуют равные углы). Каждый многоугольник занимает часть окружности, и по мере того как увеличивается количество сторон, незаполненная часть уменьшается (см. рисунок 8).

Георг Кантор, около 1880 года.

Первая страница статьи «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел», опубликованной Кантором в 1874 году. В ней уже содержались некоторые из основных идей будущей теории бесконечности.

Карл Вильгельм Борхардт, издатель <Журнала Крелле· с 1856 по 1880 год.

< image l:href="#"/>

Немецкий математик Леопольд Кронекер. Он был убежден в том, что вся теорема существования должна основываться на реальном построении и развиваться в конечное число этапов, а потому отверг теорию множеств, предложенную Кантором, и положил начало обширному спору.

РИС. 6

Теория [бесконечных множеств] — это область, в которой нет ничего очевидного, ее истинные положения часто звучат парадоксально, а кажущиеся истинными на самом деле являются ложными.

Немецкий математик Феликс Хаусдорф, 1914 год

РИС. 7

Основываясь на этой идее и исходя из свойств правильных многоугольников, уже известных в то время, Евдокс доказал, что площадь любой окружности пропорциональна площади квадрата, построенного на ее радиусе. Это означает, что если радиус окружности равен r, то его площадь высчитывается при умножении r² на число, одинаковое для всех окружностей. В XVIII веке великий швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) обозначил это число греческой буквой , и сегодня мы говорим, что площадь окружности равна • r².