Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике
Шрифт:
Самым большим его желанием было получить место в университете Берлина или Геттингена, но пришлось довольствоваться положением в Галле. Он заступил на должность в 1869 году. Этот университет имел знаменательное прошлое, но в XIX веке слава его померкла. Кантор непрерывно пытался изыскать способ перевестись в Берлин или Геттинген, но все было напрасно, и ученый очень переживал по этому поводу.
В Галле под руководством Генриха Эдуарда Гейне (1821— 1881) Кантор окончательно сосредоточился на вычислении и с 1870 по 1872 год опубликовал пять статей (которые будут рассмотрены в следующей главе). В них он исследовал определенный тип бесконечных сумм. И хотя, как и бесконечные
Помимо публикации этой работы, разделившей его научную карьеру на «до» и «после», в 1874 году в жизни Кантора произошло еще одно важное событие — 9 августа он женился.
Валли Гутман, его невеста, тоже любила искусство, играла на фортепиано и брала уроки пения. Медовый месяц они провели в Интерлакене, туристическом городке Швейцарии. И чтобы лучше очертить характер ученого, отметим, что большую часть времени он беседовал о математике с Дедекиндом.
У Валли Гутман и Георга Кантора родились шестеро детей: четыре девочки и два мальчика. Веселый нрав Валли прекрасно дополнял серьезный и даже суровый характер Кантора и определял атмосферу их дома: как было принято в то время в кругах немецких университетских профессоров, семья вела очень активную общественную жизнь.
Теперь проанализируем статью liber eine Eigenschaft des Inbegriffes alter reellen algebraischen Zahlen («Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»), опубликованную Кантором в 1874 году в «Журнале Крелле». В этой статье уже содержались основные идеи, которые позже позволили Кантору прийти к своей теории бесконечности, несмотря на то что Карл Вейерштрасс посоветовал ему скрыть их или хотя бы не подчеркивать их революционность. О чем же говорилось в статье? Что это были за идеи? Почему их следствия были столь провокационными? И что же это за «действительные алгебраические числа»?
Начнем анализ с одного из первых утверждений теории Кантора.
Оно гласит, что два множества предметов можно соотнести друг с другом, если член одного из них сопоставим с членом другого так, что ни в одном из этих множеств не останется члена без пары. Галилей проделал это с группами натуральных чисел и квадратных (см. рисунок).
Говоря математическим языком, эта операция является «установлением взаимно однозначного соответствия» между членами множеств.
Заметим, что если в обоих множествах больше не осталось членов, то сказать «два множества эквивалентны» — значит сказать, что в них одинаковое количество членов.
Теория Кантора основывается на том, что вопреки мнению Галилея этот принцип может быть перенесен на актуально бесконечные группы без какого-либо противоречия. То есть можно утверждать, что если два множества эквивалентны, в них одинаковое количество членов. Именно это и хотел доказать Кантор.
Вопросы бесконечности бросали вызов разуму и воображению человека, как никакая другая проблема за всю историю человеческой мысли.
Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «Математика и воображение», 1940 год
Однако
Кардинальное число множества, по Кантору, — это характеристика, которая сохраняется после абстрагирования сущности его членов, а также их взаимоотношений.
Возьмем группу букв, составляющих слово «небо». Их кардинальное число, по определению Кантора, можно записать как ****. Эти символы обозначают членов группы, природа которой рассматривается как абстракция. Кардинальное число последовательности чисел 2,3, 5,7 тоже было бы ****.
У обеих групп одно и то же кардинальное число, поскольку у них одинаковое количество членов (четыре, разумеется). Действительно, **** могло бы стать пусть примитивным, но действенным способом обозначения числа 4. Кардинальное число множества натуральных чисел выглядело бы как *********** (символы продолжаются бесконечно). Таким же было бы и кардинальное число множества квадратных чисел. Следуя рассуждениям Кантора, если два множества эквивалентны, у них одинаковая мощность.
Как теория Кантора решает парадокс Галилея, рассмотренный в главе 1? С одной стороны, очевидно, что натуральных чисел больше, чем квадратных, поскольку натуральные включают в себя квадратные. С другой стороны, взаимно однозначное соответствие двух множеств предполагает, что в них одинаковое количество членов.
Ответ Кантора основывается на том, что первое утверждение Галилея ложное. То, что множество квадратных чисел является частью множества натуральных чисел, верно, но из этого нельзя сделать вывод, что их больше, чем квадратных.
Когда речь идет о бесконечных множествах, совокупность необязательно больше части; другими словами, для актуально бесконечных групп не всегда действуют те же правила, что и для законченных. Квадратные числа входят в группу натуральных, но мощность и тех и других одинакова, так что никакого парадокса нет.
Интуиция говорит нам, что натуральных чисел должно быть вдвое больше по сравнению с парами, в то время как взаимнооднозначное соответствие подсказывает: в этих группах одно и то же количество членов.
Брайан Банч, «Математические хитрости и парадоксы», 1982 год
Основываясь на этих рассуждениях, несколько лет спустя немецкий математик Рихард Дедекинд (1831-1916) предложил альтернативное определение актуальной бесконечности. Вместо того чтобы исходить из отрицания — множество бесконечно, когда оно не конечно, — он решил действовать от обратного. По Дедекинду, актуально бесконечное множество равномощно любому своему подмножеству (этим свойством обладают все актуально бесконечные группы и только они). Мысль Дедекинда была встречена благосклонно, и его определение до сих пор используется в области математической бесконечности.