Большая Советская Энциклопедия (АЛ)
Шрифт:
Алгебраическая функция
Алгебраи'ческая фу'нкция, функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению . А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,
называются рациональными, а прочие А. ф. — иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [например,
Однако существуют А. ф., которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у = f (х ), удовлетворяющая уравнению: y5 + 3ух4 + x5 = 0].
Ро (х , у , z , ...)un + P1 (x , y , z , ...)un-1 + … +Pn (x , y , z , ...) = 0, (1)
где Р , Р1 , ..., Pn— какие-либо многочлены относительно х , у , z ,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х , у , z ,... и n . Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P1 /P ), частным случаем которой — целой рациональной функцией — является многочлен (если P = const ¹ 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни.
При n ³ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n– значной аналитической функцией переменных х , у , z ,...
Лит.: Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. — Л., 1948.
Алгебраическое выражение
Алгебраи'ческое выраже'ние, выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня, например
рационально относительно a, b и с. А. в. называется целым относительно некоторых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы, например 3а/с + bc2– 3ас/4 является целым относительно а и b. Если некоторые из букв (или все) считать переменными, то А. в. есть алгебраическая функция .
Алгебраическое
Алгебраи'ческое дополне'ние, см. в ст. Определитель .
Алгебраическое уравнение
Алгебраи'ческое уравне'ние, уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений . А. у. с одним неизвестным называется дробным, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под знаком радикала. Всякое А. у. может быть преобразовано без потери корней к виду a xn + a1 xn-1 + ... + an = 0. О решении таких уравнений см. Алгебра и Численное решение уравнений .
Д. К. Фаддеев.
Алгебраическое число
Алгебраи'ческое число', число а, удовлетворяющее алгебраическому уравнению a1 an + ... + акa +an+1 = 0, где n ³ 1, a1 , ..., an , an+1 — целые (рациональные) числа. Число a называется целым А. ч., если a1 = 1. Если многочлен f(x) = a1 xn + ... + an x + an+1 не является произведением двух др. многочленов положительной степени с рациональными коэффициентом, то число n называется степенью А. ч. a. Простейшие А.ч. — корни двучленного уравнения xn = а, где а — рациональное число. Например, А. ч. будут рациональные числа, числа
целыми А. ч. будут целые числа, числа
С понятием А. ч. тесно связаны два больших направления в теории чисел. 1) Арифметика А. ч. (алгебраическая теория чисел), созданная Э. Куммером в середине 19 в., изучает свойства А. ч. Целые А. ч. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам целых рациональных чисел, однако теорема об единственности разложения числа на простые множители не имеет места в теории целых А. ч. Для сохранения единственности разложения Куммер ввёл в рассмотрение т. н. «идеальные» числа (см. Идеал ). 2) Теория приближения А. ч. изучает степень приближения А. ч. рациональными числами или алгебраическими же числами. Первым результатом в этом направлении была теорема Ж. Лиувилля , показывающая, что А. ч. «плохо» приближаются рациональными числами, точнее: если a - А. ч. степени n, то при любых целых рациональных р и q имеет место неравенство [a - p/q] > C/qn , где С = С(a) > 0 — постоянная, не зависящая от р и q, отсюда следует, что легко построить произвольное количество неалгебраических — трансцендентных чисел .
Лит.: Гекке Э., Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940; Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952; Боревич З. И., Шафаревич И. P., Теория чисел, М., 1964.
А. А. Карацуба.
Алгебры основная теорема
А'лгебры Основна'я теоре'ма, название теоремы о существовании комплексных корней алгебраического уравнения a xn + a1 xn-1 + ... +an = 0 с комплексными коэффициентами. См. Алгебра .
Алгол
Алго'л, сокращённое название ряда языков программирования . Образовано из начальных букв английских слов algorithmic (алгоритмический) и language (язык). Разработан группой учёных разных стран в 1958—60. Окончательный вид языка, принятый на международной конференции в Париже (январь 1960), получил название «Алгол-60» (в отличие от первоначального вида, названного «Алгол-58»).
Основными символами А. являются десятичные цифры, строчные и заглавные латинские буквы, знаки препинания, знаки математических и логических операций, прочие специальные знаки и некоторые английские слова (в частности, begin и end). Из основных символов в А. по определённым правилам образуются конструкции — числа и выражения (арифметические, логические и др.), описания, примечания и операторы , которые, в свою очередь, в сочетании с основными символами образуют более сложные операторы и т. д. Алгоритм, заданный на А., называется алгол-программой. С помощью специальной программы он преобразуется в программу на языке конкретной цифровой вычислительной машины.