Большая Советская Энциклопедия (КО)

Большая Советская Энциклопедия

Координаты точки на плоскости . Аффинные, или общие декартовы, К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (начало К.) и два не лежащих на одной прямой вектора

 и

, исходящих из точки О . Положение точки Р определяется (в выбранной системе К.) двумя К.: абсциссой

и ординатой

,

где XP

параллельно OB и YP параллельно ОА. В частном случае, когда векторы

 и

 перпендикулярны и имеют одну и ту же длину, получают наиболее употребительные прямоугольные К. Если угол между

 и

 произволен, но длины этих векторов одинаковы, то получают те косоугольные К., рассмотрением которых ограничивался сам Декарт (часто только их и называют декартовыми, сохраняя для общих декартовых К. название аффинные К.).

Полярные К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (полюс). выходящий из неё луч ON и единицу измерения длин. Координатами точки Р служат расстояние r = OP н угол j = DNOP. Чтобы получить возможность поставить в соответствие каждой точке плоскости Р пару чисел (r, j ), достаточно рассматривать r и j , подчинённые неравенствам 0 lbr <yen, 0lbj <2

. За исключением точки О , для которой r= 0, а угол j не определён, соответствие между точками Р, отличными от О , и парами (r, j ), подчинёнными указанным условиям, взаимно однозначно.

Из других специальных систем К. на плоскости следует отметить также эллиптические координаты .

В случае аффинных К. линии х= const образуют пучок прямых, параллельных оси Oy , а линии у = const — другой пучок прямых, параллельных оси Ox , через каждую точку плоскости Р (х _{, у ) проходит одна прямая первого пучка (х = x ) и одна прямая второго пучка (у = y ). В случае полярных К. линии r = const являются окружностями, а линии j = const — лучами, выходящими из начальной точки О ; через каждую точку Р , отличную от О , проходит ровно по одной линии каждого из двух семейств; отметки r и j этих двух линий и являются К. точки Р . В более общем случае можно рассмотреть в какой-либо области G плоскости две функции точки u (Р) и u(P) такого рода, что каждая линия u (Р) = const пересекается с каждой линией семейства u(P) = const в пределах области G не более чем в одной точке. Очевидно, что в этом случае числа u (Р)}

и u(Р) однозначно определяют положение точки Р в области G , т. е. являются К. точки Р в этой области; линии, определяемые уравнениями u = const или u = const, называют при этом координатными линиями.

Криволинейные координаты на поверхности. Изложенная идея применима без всяких изменений и к введению криволинейных К. на произвольной поверхности. Например, для случая долготы j и широты q на сфере линиями j = const являются меридианы, а линиями q = const — широтные круги, расположение которых всем хорошо известно из элементов географии. Криволинейные, или, как их иначе называют, гауссовы, К. на произвольной поверхности являются основным аппаратом дифференциальной геометрии поверхностей.

Однородные координаты на плоскости. Евклидова плоскость, дополненная бесконечно удалёнными элементами, может рассматриваться с проективной точки зрения как замкнутая поверхность (см. Проективная плоскость ), на которой бесконечно удалённые точки не играют какой-либо особой роли. На всей проективной плоскости введение К., характеризующих положение точки парой чисел (u, u) с сохранением взаимной однозначности и непрерывности соответствия, невозможно. Вместо этого пользуются однородными К. При этом каждой точке ставятся в соответствие не пары, а тройки чисел (x₁ , x₂ , x₃ ), причём двум тройкам (x₁ , x₂ , x₃ ) и (x₁^’ , x₂^’ , x₃^’ ) соответствует одна и та же точка только тогда, когда входящие в них числа пропорциональны, т. е. существует такой множитель l, что

x₁^’ = lx₁ , x₂^’ = lx₂ , x₃^’ = lx₃ .

Такие системы координат играют большую роль в геометрии.

Координаты точки в пространстве. Аффинные, или общие декартовы, К. в трёхмерном пространстве вводятся заданием точки О и трёх векторов

,

,

, не лежащих в одной плоскости. Для получения К. х, у, z точки Р вектор

  представляют в виде

= xex+ уе_у +ze_z .

В простейшем случае прямоугольных К. векторы e_x , е_у , e_z попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В пространстве возможны два существенно различных типа систем прямоугольных К.: правая система (где е_у и e_z лежат в плоскости чертежа, а e_x направлен вперёд, к читателю) и левая система (где e_x и e_z лежат в плоскости чертежа, а е_у направлен к читателю).