Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Большая Советская Энциклопедия

Лит.: Блекуэлл Д., Гиршик М. А., Теория игр и статистических решений, пер. с англ., М., 1958: Вальд А., Последовательный анализ, пер. с англ., М., 1960; Ширяев А. Н., Статистический последовательный анализ, М., 1969.

Ю. В. Прохоров.

Графическое изображение процесса последовательного анализа.

Последовательных приближении метод

После'довательных приближе'нии ме'тод, метод решения математических задач при помощи такой последовательности приближении, которая сходится к решению и строится рекуррентно (т. е. каждое новое приближение вычисляют, исходя из предыдущего;

начальное приближение выбирается в достаточной степени произвольно). П. п. м. применяется для приближённого нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений, для доказательства существования решения и приближённого нахождения решений дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, для качественной характеристики решения и в ряде др. математических задач. 1) Для решения уравнения

f (x ) = 0 (1)

составляют ему равносильное х = j(х), обозначив, например, через j(x) разность х — kf (x ) (k — постоянное). Выбрав a₀ — начальное приближение к корню уравнения, составляют последовательность чисел a _{, a1} = j(a ), a₂ = j(a₁ ), …, a_n = j(a_n-1 ), …; предел а =

, если он существует, является корнем уравнения (1), а числа a _{, a1 , a2 ,..., an ,..} . — приближёнными значениями этого корня. Предел а будет существовать, например, если

(2)

и в качестве начального приближения a взято любое число.

Обычно, когда надо найти приближённое значение корня уравнения, устанавливают достаточно узкий интервал, в котором лежит корень (например, с помощью графических методов); затем подбирают k так, чтобы условие (2) выполнялось на всём интервале; за начальное приближение a выбирают любое число из этого интервала и применяют П. п. м. Практически, после того как два последовательных приближения a_n-1 и a_n совпадут с заданной степенью точности, вычисление прекращают и полагают a_n » а. Пусть дано, например, уравнение f (x ) =

. Так как

, то корень уравнения лежит в интервале

. Положив

, непосредственной проверкой убеждаемся, что для k =

условие (2) выполняется на всём интервале

. Выбирем a₀ =

 и применим П. п. м. к уравнению

. Получим a₁ = 0,554, a₂ = 0,570, a₃ = 0,566 (на самом деле корень уравнения с тремя верными десятичными знаками равен a₄ » 0,567).

2) П. п. м. применяют для приближённого решения систем линейных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных.

Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:

(3)

Строят ей эквивалентную систему:

(4)

полагая, например,

и, пользуясь рекуррентными формулами:

x_j = c₁₁ x_j-1 + c₁₂ y_j-1 + c₁₃ z_j-1 + d₁

y_j = c₂₁ x_j-1 + c₂₂ y_j-1 + c₂₃ z_j-1 + d₂

z_j = c₃₁ x_j-1 + c₃₂ y_j-1 + c₃₃ z_j-1 + d₃

составляют последовательность (x , у _{, z ), (x1 , у1 , z1 ),..., (xn , yn , zn ),... Если xn ® a, yn ® b, zn ® g при неограниченном увеличении n, то тройка чисел х = a, у = b, z = g будет решением системы (3). Пределы a, b, g заведомо существуют, каковы бы ни были начальные приближения x}