Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Большая Советская Энциклопедия

Если в рассматриваемых физических явлениях или системах существует равенство не всех, а лишь некоторых независимых критериев подобия, то говорят о неполном, или частичном, подобии. Такой случай наиболее часто встречается на практике. При этом существенно, чтобы влияние на протекание рассматриваемых физических процессов критериев, равенство которых не соблюдается, было незначительным или малосущественным.

Размерные физические параметры, входящие в критерии подобия, могут принимать для подобных систем сильно различающиеся значения; одинаковыми должны быть лишь безразмерные критерии подобия. Это свойство подобных систем и составляет основу моделирования.

С. Л. Вишневецкий.

Ниже более строго излагаются логические основы П. т. Предположим, что для описания изучаемых явлений употребляются r основных независимых единиц измерения A₁ , А₂ ,. .., A_r (например, в абсолютных системах единиц основными являются единицы длины L, массы М

и времени T ). Производные единицы измерения имеют вид:

. Их размерность

 характеризуется числовыми показателями p₁ , p₂ ,.. ., p_r . Каждая величина Х размерности [Х ] = [Q ] представляется в виде: X = xQ, где х — числовое выражение величины Х при выбранной системе основных величин A₁ , А₂ ,. .., A_r .

Пусть изучается класс явлений S , каждое из которых определяется заданием определённых значений системы величин {Y_a }. Два таких явления S ^{(1 )} и S ⁽²⁾ называются подобными, если значения величин Y_a⁽²⁾ , характеризующие явление S ⁽²⁾ получаются из значений соответствующих величин Y_a⁽¹⁾, характеризующих явление S ⁽¹⁾ по формулам:

,

где коэффициент подобия k₁ , k₂ , ..., k_r постоянны, а показатели p₁ , p₂ ,.. ., p_r определяются размерностью.

величин Y_a .

Предположим, что из системы величин {Y_a } выделена некоторая часть, образующая систему {Х_b } определяющих параметров, так что числовое значение y_z любой величины Y_a является функцией Y_a= f_a {x_b } числовых значений x_b величин X_b и вид функциональных зависимостей f_a остаётся одним и тем же при любом выборе основных единиц измерения A₁ , A₂ ,..., A_r . В этом предположении основной принцип П. т. может быть сформулирован следующим образом. Для подобия явлений S ^{(1 )} и S ⁽²⁾ необходимо и достаточно, чтобы значения любой безразмерной комбинации

, (1)

определяющих параметров в явлениях S ⁽¹⁾ и S ⁽²⁾ были равны: k ^{(1 )} = k ^{(2 )}.

Каждое безразмерное выражение k вида (1) называется критерием подобия. Очевидно, что при таком определении критериев подобия в их число попадают все безразмерные определяющие параметры и все отношения вида:

, (2)

где

 и

 — определяющие параметры одной и той же размерности.

Необходимость для подобия равенств k ^{(1 )} = k ^{(2 )}

в применении к безразмерным параметрам и отношениям вида (2) очевидна непосредственно. Их можно называть тривиальными. Сами отношения k вида (2) при перечислении критериев подобия часто опускают. Если тривиальные условия k ^{(1 )} = k ^{(2 )} считаются заведомо выполненными, то среди нетривиальных условий подобия k ^{(1 )} = k ^{(2 )} имеется только s = n — r' независимых, где n — число различных размерностей величин системы {Х_b }, а r' — число независимых размерностей среди этих n размерностей. Т. к. всегда r' lb r, то s < n — r.

Например, геометрическая картина стационарного обтекания прямоугольной пластинки, помещенной в однородный неограниченный поток вязкой несжимаемой жидкости со скоростью на бесконечности, параллельной продольной стороне пластинки, определяется: 1) длиной пластинки l, 2) её шириной b, 3) скоростью потока на бесконечности u, 4) кинематический коэффициент вязкости n. Т. к. [b ] = [l ], [n] = [ul ], то среди трёх размерностей определяющих параметров имеются лишь две независимые, т. е. r' = 2 и s = n — r' = 3 — 2 = 1. В соответствии с этим имеется один нетривиальный критерий подобия — число Рейнольдса Re = ul/ n. Кроме того, имеется один тривиальный критерий подобия b/l. Если исследуемые явления изучаются при помощи дифференциальных уравнений, то определяющие параметры появляются: 1) в виде величин, входящих в начальные и граничные условия, 2) в виде коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения. После приведения уравнений к безразмерному виду в них остаются лишь безразмерные коэффициенты, которые и являются критериями подобия.

Например, уравнения стационарного движения несжимаемой вязкой жидкости

,

, i = 1, 2, 3

(р — давление жидкости, u_i — компоненты скорости, x_i — декартовы координаты) приводятся к безразмерному виду преобразованием

x_i = x_i l, u_i = h_i u, p = xru²

В новых переменных x_i , h_i , x уравнения имеют вид:

,

, i = 1, 2, 3.

А. Н. Колмогоров.

Практические применения П. т. весьма обширны. Она даёт возможность предварительного качественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных параметров сложных физических явлений. П. т. является основой для правильной постановки и обработки результатов экспериментов, В сочетании с дополнительными соображениями, полученными из эксперимента или из уравнений, описывающих физическое явление, П. т. приводит к новым существенным результатам.

Лит.: Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 7 изд., М., 1972; Эйгенсон Л. С., Моделирование. М., 1952; Веников В. А., Теория подобия и моделирование применительно к задачам электроэнергетики, М., 1966; Кирпичев М. В.. Теория подобия, М'.. 1953; Дьяконов Г. К., Вопросы теории подобия в области физико-химических процессов, М. — Л., 1956.

Подобные матрицы

Подо'бные ма'трицы, квадратные матрицы А и В порядка n, связанные соотношением В = Р^{– 1} АР, где Р — какая-либо неособенная (т. е. имеющая обратную) матрица того же порядка. При задании матрицей линейного преобразования в разных координатных системах получаются П. м.; при этом роль матрицы Р выполняет матрица перехода от одной системы к другой. Часто бывает важно выбрать для данной матрицы А подобную ей и имеющую возможно более простой вид матрицу В [см., например, Нормальная (жорданова) форма матриц ]. П. м. имеют одинаковые ранги; характеристические многочлены |lЕ — А | и |lЕ — В |, а следовательно, определители |A | и |B | и характеристические числа П. м. А и В совпадают.