Большая Советская Энциклопедия (ПР)
Шрифт:
являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/(1 + x2 ), < q < 1, в точке х = 0 имеет П., равный 1, ибо f (x ) = 1 + x2 при x ¹ 0.
вовсе не имеет П. при х ® , ибо уже для значений xn = 1/ (p/2 + pn ) последовательность соответствующих значений функции f (xn ) = (– 1) n не имеет П.
Если П. функции при х ® х равен нулю, то она называется бесконечно малой при х ® х . Например, функция sinx бесконечно мала при х ® 0. Для того чтобы функция f имела при х ® х П., равный А, необходимо и достаточно, чтобы f (x ) = A + a(x ), где a(х ) является бесконечно малой при х ® х
Если при определении П. функции f в точке x рассматриваются только точки х, лежащие левее (правее) точки x , то получающийся П. называется пределом слева (справа) и обозначается < image l:href="#"/> (соответственно
Функция имеет П. в некоторой точке, если её П. слева в этой точке равен её П. справа. Понятие П. функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:
Например,
означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство ½f (x ) - А½ < e.
Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции . Так, если функция f определена на интервале (а, b ) и не убывает, то в каждой точке х, а < х < b, она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке в П. справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена
Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x П. в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х' и х'', удовлетворяющих условию ½х’ - x ½ < d, ½x'' — x ½ < d, x' ¹ x , x'’ ¹ x , выполняется неравенство ½f (x'' ) — f (x' )½ < e.
Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида
означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -d, выполняется неравенство f (x ) > e.
Расширение понятия предела функции . Если функция f определена на некотором множестве Е числовой прямой и точка x такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в некоторой окрестности точки x , кроме, быть может, самой точки x , определяется понятие предела функции по множеству Е
для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е: х ^I Е. П. последовательности xn , n = 1, 2, ..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел n формулой f (n ) = xn , n = 1, 2, ....