Большая Советская Энциклопедия (ПР)

Большая Советская Энциклопедия

Пусть Е_п = E_n (f, K ) — наилучшее приближение функции f на компакте К посредством полиномов от z степени не выше n (в равномерной метрике). Если К — компакт со связным дополнением и функция f голоморфна на К, то последовательность {Е_п } стремится к нулю быстрее некоторой геометрической прогрессии: E_n < qⁿ , < q = q

< 1 (n > N ).

Если f непрерывна на К и голоморфна во внутренних точках К, то скорость её полиномиальной аппроксимации зависит как от свойств f на границе К (модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрических свойств границы К.

Другие направления исследований — равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций нескольких комплексных переменных.

Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М,, 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И.. Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М. — Л., 1964; Мергелян С. Н., Приближения функций комплексного переменного. в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. 1, К,, 1970, с. 112—78.

А. А. Гончар.

Приближённое интегрирование

Приближённое интегри'рование определённых интегралов, раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов .

Пусть y = f (x ) — непрерывная функция на отрезке [a, b ] и интеграл

Если для функции f (x ) известны значения первообразной F (x ) при x = а и х = b, то по формуле Ньютона — Лейбница

I (f ) = F (b )– F (a )

В противном случае приходится искать др. пути вычисления l

. Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I

в виде линейной функции некоторого числа значений функции f (x ) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f (x ), называют выражение вида

S_n

=

 A_k f (x_k ),

в котором точки x_k , k = 1, 2,..., n, x_k ^I [a, b ], называют узлами, а коэффициенты A_k — весами.

Для каждой непрерывной функции f (x ) значение I

может быть вычислено с помощью сумм Sn

с любой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом W, к которому относят конкретную функцию f (x ),

способом задания функции и имеющимися вычислительными средствами. Погрешностью квадратурной формулы называется разность

R_n

= I

 - S_n

.

Квадратурная формула содержит 2n + 1 не зависящих от функции f (x ) параметров: n, x_k , A_k (k = 1, 2,..., n ), которые выбирают так, чтобы при f ^I W погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для f ^I W характеризует величина rn (W) — точная верхняя грань &frac12;Rn

&frac12; на множестве W:

.

Пусть

Квадратурная формула, для которой W_n (W) = r_n (W), называется оптимальной на классе П. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.

Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано несколько методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть w_q (x ), q = 0, 1,..., — полная система функций в классе W, и любая f (x ) ^I Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций w_q (x ). Пусть l (w_q ), q = 0, 1, 2,..., можно вычислить точно. Для каждого n параметры квадратурной формулы можно определить из требования, чтобы

I (w_q ) = S_n (w_q ), q = 0, 1,..., m,

для возможно большего значения m. В методе Ньютона — Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы x_k , а определению подлежат веса A_k . В методе Чебышева на веса A_k заранее накладываются некоторые связи [например, A_k = (b -а )/n ], а определению подлежат узлы x_k . В методе Гаусса определяются и веса A_k и узлы x_k . В методе Маркова j узлов (j < n ) считают заранее известными, а определяют веса и оставшиеся узлы. Точность полученных такими методами квадратурных формул существенно повышается при удачном выборе функций w_q (x ).

Формулы Ньютона — Котеса строятся на основе системы функций w_q = x^q , q = , 1,...; узлы x_k разбивают отрезок интегрирования на равные части. Примерами таких формул являются прямоугольников формула , трапеций формула и Симпсона формула .

Поскольку заменой переменной интегрирование по [а, b ] сводится к интегрированию по отрезку [-1, 1], то для определения весов и узлов элементарных формул на [а, b ] достаточно знать их для отрезка [-1, 1]. В случае составных формул исходный интеграл представляется в виде: