Большая Советская Энциклопедия (ЗН)
Шрифт:
Дальнейшее развитие З. м. было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики которого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре.
Даты возникновения некоторых математических знаков
| знак | значение | Кто ввёл | Когда введён |
| Знаки индивидуальных объектов | |||
| yen | бесконечность | Дж. Валлис | 1655 |
| e' | основание натуральных логарифмов | Л. Эйлер | 1736 |
| p | отношение длины окружности к диаметру | У. Джонс Л. Эйлер | 1706 1736 |
| i | корень квадратный из -1 | Л. Эйлер | 1777 (в печати 1794) |
| i j k | единичные векторы, орты | У. Гамильтон | 1853 |
| П (а) | угол параллельности | Н.И. Лобачевский | 1835 |
| Знаки переменных объектов | |||
| x,y, z' |
| Р. Декарт | 1637 |
| r | вектор | О. Коши | 1853 |
| Знаки индивидуальных операций | |||
| + | сложение | немецкие математики | Конец 15 в. |
| –' | вычитание | ||
| ' | умножение | У. Оутред | 1631 |
| x | умножение | Г. Лейбниц | 1698 |
| : | деление | Г. Лейбниц | 1684 |
| a2, a3,…, an | степени | Р. Декарт | 1637 |
| И. Ньютон | 1676 | ||
| корни | К. Рудольф | 1525 | |
| А. Жирар | 1629 | ||
| Log | логарифм | И. Кеплер | 1624 |
| log | Б. Кавальери | 1632 | |
| sin | синус | Л. Эйлер | 1748 |
| cos | косинус | ||
| tg | тангенс | Л. Эйлер | 1753 |
| arc.sin | арксинус | Ж. Лагранж | 1772 |
| Sh | гиперболический синус | В. Риккати | 1757 |
| Ch | гиперболический косинус | ||
| dx, ddx, … | дифференциал | Г. Лейбниц | 1675 (в печати 1684) |
| d2x, d3x,… | |||
| интеграл | Г. Лейбниц | 1675 (в печати 1686) | |
| производная | Г. Лейбниц | 1675 | |
| ¦cx | производная | Ж. Лагранж | 1770, 1779 |
| y’ | |||
| ¦c(x) | |||
| Dx | разность | Л. Эйлер | 1755 |
| частная производная | А. Лежандр | 1786 | |
| определённый интеграл | Ж. Фурье | 1819-22 | |
| S | сумма | Л. Эйлер | 1755 |
| П | произведение | К. Гаусс | 1812 |
| ! | факториал | К. Крамп | 1808 |
| |x| | модуль | К. Вейерштрасс | 1841 |
| lim | предел | У. Гамильтон, многие математики | 1853, начало 20 в. |
| lim | |||
| n = yen | |||
| lim | |||
| n ® yen | |||
| x | дзета-функция | Б. Риман | 1857 |
| Г | гамма-функция | А. Лежандр | 1808 |
| В | бета-функция | Ж. Бине | 1839 |
| D | дельта (оператор Лапласа) | Р. Мёрфи | 1833 |
| ~N | набла (оператор Гамильтона) | У. Гамильтон | 1853 |
| Знаки переменных операций | |||
| jx | функция | И. Бернули | 1718 |
| f ('x) | Л. Эйлер | 1734 | |
| Знаки индивидуальных отношений | |||
| =' | равенство | Р. Рекорд | 1557 |
| >' | больше | Т. Гарриот | 1631 |
| <' | меньше | ||
| o | сравнимость | К. Гаусс | 1801 |
| || |
| У. Оутред | 1677 |
| ^ | перпендикулярность | П. Эригон | 1634 |
И. Ньютон в своём методе флюксий и флюент (1666 и следующие гг.) ввёл знаки для последовательных флюксий (производных) величины (в виде
и для бесконечно малого приращения o. Несколько ранее Дж. Валлис (1655) предложил знак бесконечности yen.
Создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц. Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне З. м. дифференциалов
dx, d 2x, d 3x
и интеграла
Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежат Л. Эйлеру. Он ввёл (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f (x) (от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание натуральных логарифмов, 1736), p [вероятно, от греческого perijereia (periphereia) — окружность, периферия, 1736], мнимой единицы
(от французского imaginaire — мнимый, 1777, опубликовано в 1794).
В 19 в. роль символики возрастает. В это время появляются знаки абсолютной величины |x| (К. Вейерштрасс, 1841), вектора
(А. Кэли, 1841) и др. Многие теории, возникшие в 19 в., например Тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики.
Наряду с указанным процессом стандартизации З. м. в современной литературе весьма часто можно встретить З. м., используемые отдельными авторами только в пределах данного исследования.
С точки зрения математической логики, среди З. м. можно наметить следующие основные группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Например, знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание, когда указано, какие числа складываются: запись 1 + 3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определённое содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. К перечисленным трём основным группам З. м. примыкает четвёртая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства действий.
Знаки каждой из трёх групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определённых объектов, операций и отношений, 2) общие знаки «неременных», или «неизвестных», объектов, операций и отношений.
Примеры знаков первого рода могут служить (см. также таблицу):
A1) Обозначения натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентных чисел е и p; мнимой единицы i.
Б1) Знаки арифметических действий +, —, ·, ',:; извлечения корня
знаки суммы (объединения) `E и произведения (пересечения) C множеств; сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т.п.
B1) Знаки равенства и неравенства =, >, <, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности ^I элемента некоторому множеству и включения `I одного множества в другое и т.п.
Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определённого класса или объекты, операции и отношения, подчинённые каким-либо заранее оговорённым условиям. Например, при записи тождества (a + b)(a — b) = a2 — b2 буквы а и b обозначают произвольные числа; при изучения функциональной зависимости у = х2 буквы х и у — произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения
x2 — 1 = 0
х обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаём, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и —1).
С логической точки зрения, законно такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математической логике, не пугаясь того обстоятельства, что «область изменения» переменного может оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже «пустой» (например, в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:
A2) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрических фигур буквами в геометрии.
Б2) Обозначения f, F, j для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой L изображают, например, произвольный оператор вида:
Обозначения для «переменных отношений» менее распространены, они находят применение лишь в математической логике (см. Алгебра логики) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математических исследованиях.
Лит.: Cajori F., A history of mathematical notations, v. 1—2, Chi., 1928—29.
Знаки отличия нагрудные
Зна'ки отли'чия нагру'дные, в СССР одна из форм награждения граждан, способствующих своей деятельностью укреплению хозяйственной и оборонной мощи государства. Учреждаются Президиумом Верховного Совета СССР. В Положении о соответствующем З. о. н. указываются показатели, за достижение которых награждаются этим знаком. Награждение производится Президиумом Верховного Совета СССР по представлению Совета Министров СССР или, в соответствии с Положением о З. о. н., приказом соответствующего министерства или ведомства.