Большой роман о математике. История мира через призму математики
Шрифт:
Фактически «Жеод» состоит из чуть меньшего количества граней, а именно 6433, т. к. его основание, расположенное на земле, частично усечено, вследствие чего часть граней отсутствует. Тем не менее его форма позволяет объяснить наличие двенадцати отличающихся точек. Эти элементы являются не чем иным, как двенадцатью вершинами икосаэдра, являвшегося основой для данного многогранника. Иными словами, в этих местах соединялись грани-треугольники первоначального икосаэдра. Эти вершины, которые изначально явно выделялись, после последовательного разделения граней на все большее и большее количество маленьких треугольников стали практически незаметными. Но их присутствие остается неизменным, и внимательный
Теэтет, разумеется, не мог предположить, что его исследования позволят со временем построить такие грандиозные сооружения, как «Жеод». И это потрясающее свойство математики, заключающееся в том, что она способна бесконечно развиваться, подметили еще древнегреческие ученые. Они начали постепенно формулировать конкретные вопросы с тем, чтобы создать абсолютно новые и вдохновляющие математические модели. Даже несмотря на то, что эти модели часто казались неприменимыми в то время, когда их разрабатывали, зачастую они становились актуальными спустя уже много лет после смерти своих первооткрывателей.
По сей день примеры платоновых тел можно найти в совершенно разных областях. Так они применяются в качестве формы игральных костей в некоторых играх. Правильная форма обеспечивает равную вероятность выпадения значений, иными словами, каждая грань может выпасть с одинаковыми шансами. Все мы видели шестигранные кубики игральных костей, но более искушенные игроки знают, что в играх используются и остальные четыре типа правильных многогранников, обеспечивающих различную степень вероятности.
Немного дальше от «Жеода» я замечаю детей, играющих в футбол на лужайке в парке Ла-Виллет. Они, конечно же, не задумываются над этим, но и данная игра не появилась бы без открытия Теэтета. Обратили ли они внимание на геометрическую закономерность на их мяче? Большинство футбольных мячей состоят из двадцати шестиугольников и двенадцати пятиугольников. На классических мячах шестиугольники покрашены в белый цвет, а пятиугольники – в черный. И даже если на мяч нанесены какие-либо рисунки, присмотревшись, по швам на нем можно рассмотреть неизменные двадцать шестиугольников и двенадцать пятиугольников.
Усеченный икосаэдр! Так правильно называется форма футбольного мяча. И к его форме предъявляются те же требования, что и к «Жеоду»: форма должна быть наиболее приближена к шарообразной. Разница лишь в том, что создатели этой модели использовали иной способ. Вместо того, чтобы разделять грани, они просто-напросто обрезали вершины. Представьте себе икосаэдр, сделанный из пластилина, и мысленно отрежьте его вершины. После того, как отрезанные вершины будут удалены, на месте двадцати треугольников будут шестиугольники, а на месте удаленных вершин – пятиугольники.
А вот эта маленькая девочка с носовым платком в руках, которая встречается мне на пути на выходе их парка Ла-Виллет? Кажется, она не совсем здорова. Не стала ли она одной из жертв худшего из проявлений микроикосаэдров? Ряд микроорганизмов, таких как вирусы, от природы имеют форму икосаэдров или додекаэдров. Такую форму, например, имеют
Эти микроскопические существа приобрели такую форму по тем же причинам, которые вызвали преобразования в архитектуре и при создании мячей: с целью симметрии и экономии. Благодаря форме икосаэдра мячи состоят не более чем из двух различных типов граней. Аналогичным образом оболочка вируса состоит из нескольких типов молекул (четыре – для риновирусов), которые соответствуют друг другу, всегда повторяя то же строение. Генетический код, необходимый для создания такой оболочки, гораздо более краток и эффективен, чем при несимметричной форме вируса.
И снова Теэтет очень удивился бы, узнав, какие проявления могут быть у открытых им правильных многогранников.
Ну что ж, покидая парк Ла-Виллет, погрузимся в глубь веков. Почему математики Античности, такие как Теэтет, начали интересоваться теоретическими вопросами общего плана? Для того чтобы найти ответ, нам придется вернуться на несколько тысячелетий назад на восточное побережье Средиземного моря.
По мере того как цивилизации древнего Вавилона и Египта постепенно угасали, Античная Греция начиная с VI в. до н. э. находилась на пике культурного и научного развития. Философия, поэзия, скульптура, архитектура, театр, медицина и даже история – все эти дисциплины начинают расцветать в этот период. Даже сегодня удивительные достижения той эпохи потрясают своим величием и таинством. И в этом интеллектуальном подъеме одно из важнейших мест занимает математика.
Когда мы говорим об Античной Греции, первым приходит на ум город Афины и его главное здание – Акрополь. Я сразу же представляю процессию, шагающую по дворцу из мрамора с горы Панделикон, оливковые ветви и граждан в белых тогах, провозглашающих первую в истории демократию. Эти образы далеко не полностью выражают все богатство и разнообразие древнегреческого общества.
В VIII–VII вв. до н. э. древними греками были основаны многочисленные колонии по всему средиземноморскому побережью. Население древнегреческих колоний иногда перемешивалось с коренными жителями, частично перенимавшими их обычаи и образ жизни. Но не все древние греки жили одинаково. Их питание, виды досуга, вероисповедание, политическая система значительно различались в зависимости от региона.
Появление математики в Древней Греции не стало ограниченным явлением, а, наоборот, сформировало обширную географическую и культурную зону. Связь с более ранними цивилизациями, наследие которых было перенято, а также пересечение различных проявлений изучения математики стало катализатором революционных достижений в этой науке. Многие ученые совершали своеобразное паломничество в Египет или на Ближний Восток как неотъемлемую часть своего обучения. Так, многие математики Древнего Вавилона и Египта благодаря этим путешествиям перенимали часть опыта древнегреческих ученых.
На юго-восточном побережье территории современной Турции, в городке Милет, в конце VII в. до н. э. родился один из первых великих математиков Древней Греции – Фалес. Несмотря на то, что упоминания о нем встречаются в многочисленных источниках, сегодня сложно с точностью что-то сказать о его жизни и работе. Как это часто случалось с учеными того периода, различные легенды возникли вокруг имени известного математика уже после его смерти и распространялись его ревностными учениками, так что подчас крайне сложно отделить правду от вымысла. У ученых античности не было серьезных внутренних противоречий, связанных с толкованием жизни своих кумиров. Так, нередко искажались реальные обстоятельства жизни великих наставников в случаях, когда действительность не соответствовала желаемому.