Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Эткинз Питер

Каждая из машин Тьюринга представляет собой специальное устройство из ленты и считывающей головки, определенным образом запрограммированной. Давайте предположим, что мы можем пронумеровать все возможные машины Тьюринга, так что у нас есть склад с ящиками, помеченными знаками t ₁, t ₂, и так далее. Если одна из этих машин принимает определенное число и останавливается, мы обнаружим определенное число на выходе. Например, если машина t ₁₀принимает число 3, это может означать 42 на выходе и конец вычислений. Чтобы зарегистрировать этот результат, запишем t ₁₀(3) = 42. Однако может существовать комбинация машины и значения числа, для которой вычисления никогда не закончатся, например, если машина t ₂₂принимает число 17. Чтобы зарегистрировать этот результат, запишем t ₂₂(17) = .

Перед Тьюрингом стояла задача узнать, существует ли способ проверки всех возможных машин и принимаемых ими значений чисел и принятия на основе этой проверки решения, будут ли вычисления когда-либо закончены.

Чтобы выполнить эту программу, предположим, что существует универсальная машина Тьюринга, которая является такой машиной Тьюринга, которую можно запрограммировать для имитации любой индивидуальной машины Тьюринга. У этой машины входная лента имеет две секции, одна для программы, а другая для данных. Программная часть может состоять из строки чисел, которые инструктируют головку, как реагировать на то, что она обнаруживает на ленте. Например, код 001 может означать:

001:если вы обнаруживаете на ленте 1 и находитесь в состоянии 1, замените 1 на 0, смените ваше внутреннее состояние на состояние 2 и передвиньтесь на один шаг вправо.

Подобным же образом, код 010 может означать:

010:если вы обнаруживаете на ленте 0 и находитесь в состоянии 2, передвиньтесь на один шаг влево; а если вы считываете 1, то замените 1 на 0 и передвиньтесь на один шаг вправо.

Программная часть ленты может выглядеть как …001010…, если эти две инструкции надо выполнить последовательно. Мы будем называть универсальную машину Тьюринга tu. Заметим, что, в то время как индивидуальнаямашина Тьюринга считывает только данные, универсальнаямашина сначала считывает программу, чтобы подготовить себя, а затем уж считывает данные. Так, если мы хотим, чтобы она имитировала t ₁₀, мы считываем программу 10, то есть множество инструкций, настраивающих машину на работу в режиме t ₁₀, а затем скармливаем ей данные. Если данные состоят из числа 3, мы будем ожидать от этого совместного процесса ответ 42 и запишем tu(10,3) = 42, где первое число в скобках является номером машины Тьюринга, которую мы хотели имитировать, а второе число представляет данные.

Предположим теперь, что существует машина Тьюринга, которая может взять программу любой другой машины Тьюринга, например t ₂₃, и любое множество данных, и решить, остановится или нет эта комбинация, чтобы напечатать ответ. Мы назовем эту особую машину Тьюринга th (hздесь от английского глагола «halt» — останавливаться). Если thполучает остановку для частной комбинации программы и данных, например t ₂₃и 3, она напечатает 1 и остановится; если она определяет, что комбинация не приводит к остановке, например t ₂₂и 17, thнапечатает 0 и остановится. Успех Тьюринга выразился в доказательстве того, что thне включена в список всех возможных машин Тьюринга и поэтому не существует. Чтобы проделать это, он использовал аргументы, очень похожие на «диагональные» аргументы, которыми пользовался Кантор для доказательства того, что иррациональные числа несчетны. Вы можете свободно перейти к следующему подразделу, если хотите пропустить вывод этого результата.

Эти аргументы таковы. Предположим, что мы задаем входные данные 0, 1, 2, … и машины Тьюринга t ₀, t ₁, t ₂, … и составляем таблицу, верхним левым фрагментом которой является следующая:

Вход	0	1	2	3
Номер матрицы	0
1	3		4	1
2	1	1	1	1
3	0	1		2

Когда вычисления не останавливаются, мы записываем символ . Таблица содержит все возможные вычислимые числа (числа, которые могут быть вычислены машиной Тьюринга до произвольного числа разрядов), поскольку она содержит в своих последовательных рядах все возможные машины Тьюринга, а в последовательных колонках все возможные входы.

Теперь мы делаем второй шаг. На этот раз мы рассортируем результаты с помощью машины th, которая настроена так, что выдает 0, если решает, что соответствующие вычисления не остановятся, и не выдает никаких данных, если решает, что вычисления остановятся. Она также делает

себе пометку, чтобы запомнить, где она заменила на 0, так как не хочет, чтобы машина, программа которой имитируется, была снова втянута в бесконечные вычисления. Например, когда мы загружаем в машину thчисло 4, а затем число 2, она, в соответствии с программой t ₄и данными 2, инспектирует ленту, производит некоторого рода вычисления, решает, что вычисление t ₄(2)не остановится, если мы будем его выполнять, и поэтому ставит 0 в соответствующую ячейку таблицы и делает себе пометку, что данное вычисление не остановится. В конце этого этапа вычислений верхний левый фрагмент таблицы выглядит так:

Вход	0	1	2	3
Номер матрицы	0	0	0	0	0
1		0
2
3			0

Теперь там, где мы не обнаруживаем 0, мы производим все вычисления, как мы это делали на первом шаге, и получаем следующий фрагмент таблицы:

Вход	0	1	2	3
Номер матрицы	0	0	0	0	0
1	3	0	4	1
2	1	1	1	1
3	0	1	0	2

Поскольку исходная таблица содержит все возможные вычислимые числа, эта таблица тоже содержит все возможные вычислимые числа: здесь может быть много повторений, но это делу не мешает.

Теперь перейдем к финалу. Давайте возьмем числа на диагонали (они выделены жирным шрифтом) и изменим их, прибавляя 1 (что похоже на доказательство Кантора). Мы получаем последовательность вида 1123…. Это вычислимое число (поскольку последовательность шагов, основанная на thи машине Тьюринга, действует в каждом предполагаемом случае), поэтому машина, которая производит это число, уже должна присутствовать где-то в таблице. Однако ее нет: она отличается от первого ряда (поскольку мы заставили первую цифру измениться), она отличается от второго ряда (поскольку мы заставили вторую цифру измениться), и так далее, для всех рядов в таблице. То есть, с одной стороны, ряд 1123… должен быть представлен, но, с другой стороны, его нет. Это противоречие, поэтому предположение о существовании «остановочной машины» th, которое мы использовали, должно быть ложным. Мы доказали (и это подтверждено более строгим и авторитетным доказательством Тьюринга), что не существует ни одной общей универсальной алгоритмической процедуры, которую можно использовать, чтобы судить, придут ли к концу данные вычисления или нет. Это влечет, в свою очередь, то, что не может существовать никакого общего алгоритма для решения математических задач, и поэтому Entscheidungsproblemне имеет решения.

Теперь я перехожу к высшей точке этой главы, к тому, что называют самым красивым достижением логики двадцатого века, к теореме Гёделя. Австрийский логик Курт Гёдель (1906-1978) родился в Брюнне, Австро-Венгрия (ныне Брно, Республика Чехия), где работал Грегор Мендель, и учился в Венском университете. Хотя он и не был евреем (вопреки утверждению Бертрана Рассела), Гёдель не смог терпимо относиться к нацистским репрессиям и в 1934 г. поехал в США, в 1940 г. эмигрировал туда насовсем и провел оставшуюся часть жизни в Принстоне, где он и Эйнштейн стали большими друзьями. Конечно, в свои последние годы Гёдель внес существенный вклад и в общую теорию относительности, когда обнаружил неожиданное решение уравнений Эйнштейна, позволяющее времени течь в прошлое. По своему облику и образу жизни Гёдель не был человеком, которого можно было считать вполне приемлемым в обществе. Возвратись в Австрию после своей первой поездки в США, он женился на разведенной танцовщице и увез ее в Принстон, где ее не могли хорошо принять из-за преобладавшего в то время снобизма. К концу жизни у него развились классические признаки депрессии и паранойи: он был убежден, что является жертвой тайного общества убийц, что в конце концов привело его к отказу от еды и к ношению лыжной маски, чтобы избежать заражения во время прогулок в опасной и сильно загрязненной, как он считал, атмосфере Принстона. Он скончался, веся лишь 30 кг, от «недоедания и истощения» (вызванных отказом от пищи), явившихся, как гласит заключение о смерти, результатом «душевного расстройства».