Элементы мысли
Шрифт:
но зато отношение между точкой и линией стало строго определенным со стороны пространственной. Пример этот показывает, какими простыми рассуждениями и опытами можно дойти до фикций, когда дело идет о крайне простых отношениях. С другой стороны, легко показать, что обе фикции приложимы к реальностям, что опять говорит в пользу происхождения их из реальностей. Так, центр тяжести тела есть понятие, стоящее уже на границе реальности, а между тем таким центром может быть только математическая точка. Другой пример. Столяр, измеряя размеры какой-либо поделки ниткой, очень ясно понимает, что тут дело не в толщине нитки, а только в ее длине. Представление о контуре предмета тоже эквивалентно математической линии: глаз видит контур как границу между фигурой тела и окружающим ровным фоном; но куда отнести эту границу как линию: к веществу тела или к окружающему фону? Одна математическая линия, без размера в толщину, выводит ум из затруднения.
Для перехода количества в область бесконечного возьмем такой простой пример.
Из 1
Как ни проста эта мысль, но за нею скрывается уже очень многое:
1) беспредельная с виду дробность величин, не доходящая, однако, до нуля
2) нуль как предел дробимости — фикция, эквивалентная по смыслу математической точке, — эта в приложении к протяженностям, та — к количествам;
3) беспредельное нарастание величин в сторону фиктивного предела «бесконечность», с ее знаком °°.
Понятия эти составляют исходные пункты высшего математического анализа; и как они ни отвлеченны, в них все еще слышится отзвук действительности. Так, мировое пространство представляется уму беспредельным; абсолютный 0° температуры есть возможная реальность; нуль давления в барометрической пустоте есть реальность действительная.
Вот, далее, пример математической зависимости, вполне эквивалентный тому, что зовется в обыденной жизни причинной зависимостью.
Если х обозначает какую-либо неизвестную величину и она связана каким-либо образом с другой известной я, то обе вместе представляют новую неизвестную у; например, а +х = у Если при этом ставить на место х какие-либо известные величины в одеянии букв или чисел, или, как говорится, считать ж величиной переменной, то каждой определенной перемене х будет соответствовать определенная перемена всей суммы, т. е. у: поэтому и говорят, что в данном уравнении х представляет независимую переменную, а у — зависимую. Первая, очевидно, играет роль причины, а у — роль эффекта; тем более что и здесь связь между величинами х-у, как между причиной и эффектом, роковая. Таков исходный пункт учения о функциях; корни его, очевидно, лежат в арифметике; а дальнейшее развитие сводится в сущности на изучение отношений между зависимыми и независимыми переменными, когда последние изменяются непрерывно с различной быстротой. При этом, по самому смыслу факта непрерывного изменения, изучению должны подлежать мгновенные формы изменений — величины, приближающиеся к нулю. Последняя мысль лежит опять в основе высшего анализа и представляет самоочевидную истину; корни же ее лежат, очевидно, в таких чувственных наблюдениях, как течение воды или сякое вообще видимое движение, и в простых опытах вроде следующего. Ряд близких несоприкасающихся точек кажется с известного расстояния сплошной линией; следовательно, перемещение пера, произведшего эту линию, состояло из ряда отдельных коротких фаз, а результат получился такой, словно передвижение было непрерывно. Значит, разница между математической и чувственной непрерывностью следующая: та, по ограниченности наших чувств, может быть лишь кажущейся, а та абсолютна.
Все доселе перечисленное составляет, так сказать, фон математического мышления; и на нем, рядом с построениями, носящими более или менее ясный отзвук действительности, или такими, которые по этому самому условно приложимы к реальностям (как идеальный образец к соответствующему приближению), на каждом шагу встречаются полные разрывы с действительностью. Произведениям из трех множителей, величинам в 3-й степени и функциям о двух независимых переменных соответствуют еще отвлечения от реальностей — объемы; а соответственные выражения кверху от этих пределов уже не имеют никаких основ в действительности. Отрицательные величины условно приложимы к реальностям, а так называемые мнимые величины представляют количественные невозможности — не величины, а формы. А между тем в анализе все такие построения являются равноправными членами с остальными, т. е. математик, оперируя над ними обычными для прочих величин способами, получает верные результаты.
По смыслу все такие построения суть продукты обычных в математике операций над знаками количеств — над формами, независимо от содержания. Имея дело с абстрактами, математик неизбежно приводится к мышлению формами, т. е. внешними изображениями абстрактов; непогрешимость же его выводов при таком условии определяется тем, что в математике (и только здесь) форма вполне соответствует содержанию. Так, в алгебре одним простым знаком очень часто выражается величина, действие над нею и результат; в случае же, если результат неизобразим коротким знаком, его изображает так называемая формула.
Отсюда уже становится понятно происхождение всех вообще разрывов математики с действительностью, в основе их лежит размножение форм по аналогии и путем обобщения.
Совокупность всех таких построений в математике и была мной
Как же отнестись к таким проявлениям человеческого ума? Представляют ли они наивысшую инстанцию мышления, создавая продукты, заходящие за всякие пределы опыта, и дают ли право думать, что человеческая мысль способна вообще, т. е. не в одной области количественных отношении, заходить безнаказанно за эти пределы, путем логических или, как часто говорится, путем умозрения? Отрицательный ответ на первый вопрос очень прост и ясен: все трансцендентные, т. е. превосходящие опыт, математические построения производятся, как уже было сказано, обычными логическими операциями, знаками, следовательно, не открывают никаких новых особенностей в мыслительной способности человека. Что же касается второго вопроса, ответ на него всего естественнее искать в истории развития (именно в прогрессировании) опытных знаний, так как именно здесь творческая мощь человеческого ума выступает за все последнее столетие с особенной яркостью.
Опытное знание, двигаясь вперед, открывает, как говорится, все новые и новые горизонты — ряды загадок, вытекших из опыта, но лежащих за его пределами. К счастью для человечества, ум не останавливается на пороге опыта и идет дальше, в область загадок. Одни из них оказываются разрешимыми лишь отчасти или условно; другие разрешимы тотчас же и вполне наличными средствами особенно искусного исследователя, а некоторые, будучи вполне понятными для ума, не могут быть разрешены опытом только в данную минуту. Так, Леееррье открыл, как известно, Нептуна не телескопом, а путем логических построений по данным астрономического опыта. Мысли о значении среды в так называемом «действии на расстоянии» были в уме Фарадея делом логических требований из его опытов, прежде чем были признаны другими, и вошли необходимым звеном в объяснение опытных фактов. Аналогия между светом и электричеством была в уме Максвелла ранее, чем подтвердившие ее опыты Герца. В сущности, такие факты встречаются в области открытий едва ли не на каждом шагу, потому что предшествием открытию всегда служит какое-либо соображение, вызванное не испытанным еще сопоставлением известных фактов (например, мысли Роберта Майера, из которых возникло учение о сохранении энергии). Новое неожиданное открытие представляется лишь публике в таком виде, словно оно вышло из ума изобретателя без предвестников как deus ex machina; для самого изобретателя и всех равных ему по образованию это лишь новая сторона известного.
Значит, путем логических построений можно действительно додуматься до новых истин (положительных знаний), но лишь при условии, если в основании их лежат, как посылки к умозаключениям, известные факты. Но не то ли же самое происходит, в сущности, и в уме математика, когда он додумывается до новых трансцендентных положений? Ведь и здесь основанием для вывода служит какое-либо новое сопоставление уже известных математику данных из накопленного им математического опыта.
То же в сущности происходит и при условном решении опытных загадок, т. е. при построении гипотез опытных наук. Достоверностью пользуются, как известно, только те из них, которые стоят на пороге объясняемых положительных фактов и где дополнительные гипотетические члены, имея значение логических выводов из определенных посылок, облечены в реальную форму, т. е. не суть реальности действительные, а реальности возможные.
Итак, подобно тому, как в обыденной жизни за пределами накопленного человеком опыта лежит для его мысли область возможного и действия человека дают ценные результаты лишь при условии, если при движении вперед они направляют усилия в сторону для него возможного, так и в деле познания почвой для истинного прогресса знаний служит лишь возможное для данного времени. К сожалению, и там и здесь рядом с действительной возможностью лежат возможности лишь кажущиеся. Так, в области знаний мысль человеческая привыкла с глубокой древности забегать крайне далеко за пределы опыта и считать возможными даже такие проблемы, как объединение всех наличных знаний данного времени, или начало, цели и конечные причины всего существующего.
Нужно ли говорить, что забегание мысли в такие отдаленные сферы соответствует в самом счастливом случае витанию ее в области загадок, без всякой возможности доказать основательность делаемых выводов, так как твердых критериев для различения действительной возможности от кажущейся вне проверочного научного опыта нет; а такие опыты здесь невозможны.
Здесь я остановлюсь, чтобы резюмировать все доселе сказанное по поводу развития внечувственных продуктов из опытных данных.
Расчленением субъективных и объективных рядов со стороны условий чувствования и действия человек приучается к мысли считать реальным не только то, что непосредственно доступно чувству. Для выводимых этим путем нечувственных продуктов есть на обыденном языке даже родовое имя — возможность. Сумма всех опытных возможностей составляет для всякого человека ту почву, на которой он строит внечувственное.