Есть идея!
Шрифт:
Жанет. Прошу прощения, Бастер, но, по-моему, ты распределил обязанности нечестно. Мне ты оставил всю грязную работу, а себе взял то, что чище и полегче.
С этими словами миссис Джонс взяла список обязанностей по дому и отметила те работы, которые бы ей хотелось взять на себя. Ее муж не согласился с новым распределением обязанностей.
Жанет. Если ты думаешь, что я буду делать всю грязную работу, то ты просто сошел с ума.
Пока
Миссис Смит. Из-за чего драка, голубки? Ваши крики слышны на лестнице.
Выслушав доводы Бастера и его жены, миссис Смит улыбнулась.
Миссис Смит. Я нашла великолепное решение. Сейчас я покажу вам, как распределить обязанности по дому, чтобы вы оба остались довольны.
Миссис Смит. Пусть один из вас разделит перечень обязанностей на 2 части, каждую из которых он бы охотно взял на себя, а другой выберет себе любую половину. Тогда обязанности будут распределены в соответствии с желаниями каждого из вас, не так ли?
Но год спустя, когда миссис Смит переехала к молодоженам, ситуация несколько осложнилась. Миссис Смит охотно согласилась взять на себя треть обязанностей по дому, но все трое никак не могли придумать, как справедливо разделить между собой обязанности. Не взялись бы вы им помочь?
Задача о честном разделе, с которой столкнулась чета Джонсов, в книгах по занимательной математике обычно фигурирует, как задача о разделе пирога между двумя людьми, каждый из которых хотел бы заполучить не меньше половины.
Эту задачу мы решили, а вот задача о честном разделе пирога между тремя людьми, каждый из которых хотел бы заполучить не менее трети пирога, осталась нерешенной.
Она допускает следующее решение. Один из любителей пирога медленно ведет большим ножом над пирогом. Пирог может быть любой формы. Вести нож нужно так, чтобы доля пирога по одну сторону ножа непрерывно возрастала от нуля до максимума. Как только любой из трех участников раздела сочтет, что по одну сторону ножа осталась треть пирога, он произносит вслух: «Режь!» Тот, кто держит нож, немедленно отрезает кусок пирога и отдает тому, что подал команду. Если команду «Режь!» подадут одновременно двое или даже трое любителей пирога, отрезанный кусок вручается любому из них.
Двое остальных вполне удовлетворены куском пирога, доставшимся им на двоих: ведь этот кусок составляет не менее 2/3 от всего пирога. Задача о разделе этого куска сводится к предыдущей задаче о честном разделе между двумя претендентами и решается, если один режет, а другой выбирает.
Метод честного раздела допускает очевидное обобщение на случай n участников. Один из участников ведет ножом над пирогом. Первый, кто подаст команду «Режь!», получает первый кусок (если команду подадут сразу несколько человек, отрезанный кусок достается одному из них по жребию). Затем процедура повторяется с n– 1 остальными участниками. Так продолжается до тех пор, пока не останутся 2 участника. Последняя порция пирога делится между ними по принципу «я режу, ты выбираешь», или, если угодно, при помощи все той же универсальной процедуры: один ведет ножом над пирогом, и каждый может скомандовать «Режь!», если сочтет, что по одну сторону ножа осталось не менее 1/2 порции, доставшейся им на двоих. Общее решение задачи о справедливом разделе может служить прекрасным примером доказательства, проводимого при помощи метода математической индукции. Ясно, что тот же алгоритм справедливого раздела применим и к задаче о распределении домашних обязанностей между n обитателями квартиры, не оставляющем ни у кого ни малейшего повода для неудовольствия.
Математик из Кембриджского университета Джон X. Конуэй рассмотрел задачу о справедливом разделе при гораздо более
Воздушный акробат
В звоннице средневековой церкви сохранились две бесценные веревки, за которые звонари раскачивали колокола. Обе веревки проходят через небольшие отверстия в потолке комнаты звонарей. Потолок очень высокий. Расстояние между отверстиями 25 см, а диаметр каждого из них таков, что веревки свободно проходят сквозь них.
Тони, бывший акробат, вознамерился похитить веревки — отрезать от каждой из них кусок побольше.
Тони. Как назло, колокола на самом верху звонницы заперты на семь запоров. Проникнуть можно только в комнату звонарей.
Тони. Придется залезть по веревкам и отрезать от каждой из них кусок побольше. Жаль, до потолка здесь так высоко, что если я отрежу больше трети видимой части веревки, то упаду и сломаю себе шею.
Тони размышлял довольно долго, пока, наконец, не придумал, как похитить обе веревки почти целиком.
Что бы вы сделали на его месте?
Решение Тони было весьма остроумным. Прежде всего он связал свободные концы веревок. Затем залез по одной из них (обозначим ее A) под самый потолок.
Повиснув под потолком на веревке A, Тони перерезал веревку B примерно на полметра ниже потолка и свисающий из отверстия остаток связал в петлю.
Продев в петлю руку, Тони повис на веревке B и перерезал веревку A под самым потолком, приняв все меры предосторожности, чтобы отрезанный кусок веревки A не упал на пол. Затем он продел веревку A сквозь петлю и принялся протягивать ее, пока наверху не оказались связанные концы веревок A и B.
После этого Тони слез по сложенной вдвое веревке, выдернул ее из петли и ушел, унося с собой всю веревку A и почти всю веревку B.
А как бы вы это сделали?
Задачу, о которой вы узнали, прочитав рассказ о дерзком похитителе веревок, нельзя считать строго определенной, поэтому и решений у нее может быть несколько. Возможно, что приведенное нами решение наиболее «практично», но вы заведомо сумеете предложить еще несколько других вариантов, которыми мог бы воспользоваться вор. Не исключено, что ваше решение окажется лучше.