Философы Древней Греции
Шрифт:
Некоторое представление о степени развития математики в эпоху от Пифагора до Платона мы можем получить из текстов по геометрии, изложенных в книгах 1–5 «Элементов» Евклида, а эти книги – новая редакция более ранних пифагорейских трактатов по геометрии7. Кроме того, получить ответ нам помогают рассказы и некоторые теоремы. «Теорема Пифагора», предположительно открытая самим Пифагором, породила много легенд. Аристотель сообщает, что пифагорейцы знали и давали ученикам своей школы еще в начале учебы доказательство того, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с этой стороной. Это доказательство, которое мы применяем до сих пор, показывает, что техника построения доказательств и способность при необходимости мыслить отвлеченно у пифагорейцев достигали очень высокого уровня8. Сообщения о том, что пифагорейцы отождествляли правильные геометрические тела с молекулами материального
Этих подсказок достаточно, чтобы стало очевидно, что речь идет действительно о качественно новом понимании формы. Теперь нам нужно рассмотреть философские последствия утверждения, что «числа – это вещи», которое обобщает эти новые представления. Может быть, мысль пифагорейцев станет яснее, если мы перефразируем эти слова и скажем «числа реальны», поскольку слово «вещи» в современном языке ассоциируется с материальными предметами, а это искажает смысл изречения. Но в каком смысле числа или формы реальны? Во-первых, они существуют независимо от наблюдателя: хотим мы того или нет, два плюс два всегда будет равно четырем, и два всегда будет четным простым числом. У них, в отличие от бесформенной или безграничной пустоты Анаксимандра, есть точные индивидуальные характеристики: каждое число является только самим собой. Числа – нечто общее для всех: они для всех наблюдателей одни и те же, в отличие от субъективных фантазий какого-либо человека или проходящих со временем впечатлений. Они системно связаны между собой. Всех этих свойств, кажется, достаточно для того, чтобы признать форму, число и соотношение чисел чем-то реальным. Но они реальны по-иному, чем материальные объекты: в отличие от них, числа не имеют ни прошлого, ни места в пространстве и существуют в мире, где нет ни движения, ни изменения. И числа видимы только уму: мы не можем коснуться их или смотреть на них, как смотрим на камень или ручей. Таким образом, перед философией возник, кроме мира физических реальностей, признанного милетцами, еще целый новый мир, который можно использовать9. И этот мир реально имел отношение к интересам и проблемам людей, поскольку его абстрактные соотношения и фигуры давали науке инструменты для познания природы10.
И все же у пифагорейцев, несмотря на отмечаемое иногда изящество доказательств и определений, числа были гораздо теснее связаны с воображением, чем наши сегодняшние абстрактные числа11. Пифагорейцы представляли себе числа как «группы единиц» (монад) и считали, что «естественный» способ записи чисел – изображение их в виде групп точек, при котором у каждого числа была собственная характерная для него естественная монадная структура. Этим способом мы до сих пор изображаем числа на домино и игральных костях, а ассоциативная связь между числами и пространственными фигурами сохранилась в современных терминах «квадратные» и «кубические» числа. Фактически в течение всего Средневековья «фигурные числа» были стандартным крупнейшим разделом арифметики. Школьники заучивали теоремы о том, что, например, суммы последовательных целых чисел «треугольны», то есть составляющие их числа можно изобразить в виде треугольника (как в «тетрактисе десятки» на схеме, которая приведена ниже). Эта смесь воображения и абстракции позволяла легко ассоциировать числа с формами и предметами. Например, изображение чисел в виде группы единиц предполагало какую-то связь между единицами в арифметике и точками пифагорейской геометрии, и некоторые члены пифагорейской школы пытались построить физический мир из пространственных точек.
Для математика-пифагорейца числа не только продолжали нести в себе представление о физической форме и узоре, но имели и другие качества. У каждого числа были черты личности – оно могло быть мужским или женским, совершенным или несовершенным, красивым или уродливым. Современная математика постепенно избавилась от такого ощущения чисел, но его отголоски мы до сих пор находим в художественной литературе и поэзии. Самым лучшим числом было десять: оно содержало в себе четыре первых целых числа – один, два, три и четыре – и в точечной записи они образовывали совершенный треугольник. Списки чего-либо у пифагорейцев обычно делились на группы по четыре или по десять строк. Позже история чисел на Западе сложилась так, что математика пошла своим собственным путем, а идея личностных свойств и ценностных качеств чисел породила целую традицию в магии, нашедшую отражение в нумерологии и геомантике12.
Поскольку математика пифагорейцев еще не достигла идеальной чистоты, они легко поверили в то, что «вещи –
Математика и космология пифагорейцев
I. Фигурные числа
Чтобы показать, как каждое число складывается из монад, в пифагорейской системе «естественной» записи эти группы монад изображали с помощью маленьких букв альфа. Например, получались следующие соответствия:
Изучение «фигурных чисел» развивалось по пути выяснения того, какую (в обобщенном виде) форму имеют числа, которые могут быть записаны в определенном виде. Например, произведения двух одинаковых сомножителей все были «квадратными». Суммы последовательных целых чисел, например, 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4 и так далее, имеют «треугольную» форму.
II. Тетрактис десятки
Фигурой, обладающей самыми чудесными свойствами, сочетающей в себе четыре первых целых числа, треугольную форму и «совершенное число» десять, был «тетрактис десятки» – треугольник из десяти монад, сложенный из целых чисел 1, 2, 3 и 4:
III. Таблица противоположностей
Как писал Аристотель, «некоторые пифагорейцы» для объяснения, как зародились числа и весь остальной мир, использовали таблицу противоположностей14.
Эту интерпретацию мы находим в ранней пифагорейской таблице противоположностей (которая приведена выше под номером III). В одном столбце – «формальные» качества, похожие на число или порождаемые числом; в другом собраны их противоположности, которые не имеют формы и становятся определенными только тогда, когда их ограничивают определением.
Другие представители пифагорейской школы толковали положение «вещи – это числа» более буквально. Поскольку выяснилось, что законы природы – количественные, было соблазнительно считать, что объекты, которыми эти законы управляют, тоже количественные. Если не брать в расчет иррациональные числа, то есть считать их исключением и отложить их исследование на потом, то аналогия между арифметической единицей и геометрической точкой подсказывала простую модель того, что вещи действительно были созданы из наборов точек. Каждый набор точек соответствовал фигуре, в которую складывались единицы, составлявшие одно из арифметических чисел.
Красота тезиса о том, что вещи – это числа, не только в его богатых возможностях для философии, но и в практических результатах, которые появились, когда ученые-пифагорейцы начали измерять и считать. По традиции считается, что Пифагор сам сделал открытие, которое привело к идее о «музыке сфер» – идее, гораздо позже вдохновлявшей людей науки и поэтов. Измеряя длину вибрирующей струны, которая производила гармоничные звуки, Пифагор обнаружил, что соотношения таких длин для октавы, пятой доли и четверти были точно 2:1, 3:2 и 4:3 – простейший из возможных набор соотношений целых чисел. А наблюдения показали с допустимой погрешностью, что в этих же самых соотношениях находились между собой периоды обращения планет. Таким образом, система небесных светил была гаммой, была гармонией, которая, как музыка, была математически простейшей15. (Некоторые энтузиасты понимали эту аналогию буквально, то есть считали, что каждая планета во время движения создает звук, высота которого пропорциональна скорости планеты. Но то, что сейчас называют космическим шумом, не слишком похоже на звучание всех семи нот музыкальной гаммы сразу.)
Это сходство гамм и звезд заставляло предполагать, что в природе все законы должны обладать такой же математической простотой. И пифагорейцы начали различными способами открывать, каковы эти лежащие в основе мира количественные соотношения. Для современной науки то, что изучение количественных данных помогает проникнуть в самую суть вещей, – урок, заученный наизусть, который она сейчас считает чем-то само собой разумеющимся. Но в те дни эта идея была новой, и можно себе представить, как волновались пифагорейцы, когда их метод в каких-то случаях имел успех, а в других терпел неудачу.