Физика пространства - времени
Шрифт:
81. Анализ парадокса часов с помощью эффекта Допплера
Пусть время путешествия туда и обратно равно t в системе отсчёта Павла и t' — в системе отсчёта Петра. Тогда полное число пульсаций переменной звезды одно и то же в обеих системах отсчёта и равно соответственно 't'=t. Промежуток времени t, который покажут часы брата, оставшегося на Земле, равен t=('/)t. Найдём отношение частот по формуле (122), имея в виду, что переменная наблюдается домоседом Павлом под углом 90° к направлению движения Петра (=90°, cos =0). Отсюда получим
t
=
t'
ch
r
.
В
ch
r
=
(1-
r
^2)^1
/
^2
=
[1-(24/25)]^1
/
^2
=
=
(69/625)^1
/
^2
=
25/7
.
Поэтому, если t'=7 лет, то t=255 лет, что уже было получено в упражнении 27.
82. «Не превышайте скорости»
Скорость приближающейся машины равна vr=80 миль/час=36 м/сек. Отсюда
r
=
vr
c
=
12·10
Частота ' в системе отсчёта машины может быть получена из уравнения (122), если принять =. Ограничиваясь в разложении членами первой степени по r, найдём
'
=
пад
1+r
1-r
1/2
пад
1
+
r
2
1
+
r
2
,
'
=
пад
(1+
r
).
Затем радиолокационный луч отражается от машины в противоположном направлении, и при этом в системе отсчёта машины частота ' остаётся неизменной. Частоту, наблюдаемую в системе отсчёта автострады (лаборатории), можно найти из уравнения, обратного (122) (см. первую формулу в упражнении 76),
отр
=
'
ch
r
·
(1+
r
cos ').
Теперь '=0, так что
отр
=
'
1+r
1-r
1/2
'
(1+
r
).
Подставляя сюда полученное выше выражение для ' найдём
отр
пад
(1+
r
)^2
пад
(1+2
r
).
Сдвиг
отр
–
пад
=
пад
·
2
r
=
(2455
Мгц
)·2·12·10
590·10
Мгц
=
590
гц
.
Наименьшее изменение частоты, поддающееся обнаружению, равно
отр
=
2
пад
r
.
Если vr=10 миль/час=4,47 м/сек, то r10·10, и мы получим относительный сдвиг частоты
отр
/
пад
=
2
r
3·10
.
83. Допплеровское уширение спектральных линий
Приравняйте ньютоновское выражение для кинетической энергии её выражению через температуру:
1
2
m
v^2
ср
=
3
2
kT
.
Отсюда
v^2
ср
1/2
=
3kT
m
1/2
и
r
1
c
v^2
ср
1/2
=
3kT
mc^2
1/2
.
Возьмите уравнение, обратное (122),
=
'
ch
r
·
(1+
r
cos ')
для того, чтобы определить сдвиг частот; положите здесь '=0 и используйте приближение для малых r:
=
'
1+r