Физика в примерах и задачах
Шрифт:
откуда
v^2
=
2gR
h
R
– 1-
cos
.
(5)
Подставляя найденное значение скорости в формулу (3), находим силу реакции N:
N
=
mg
2
h
R
– 2-
3cos
.
(6)
Из выражения (6) видно, что наибольшее значение сила N имеет в нижней точке
N
max
=
mg
2h
R
+
1
.
(7)
Из (7) следует, что сила, с которой тело давит на жёлоб в нижней точке, больше, чем сила тяжести mg. Только в том случае, когда начальная высота h равна нулю (т.е. тело просто лежит в нижней точке желоба), оно давит на жёлоб с силой, равной mg.
Из выражения (6) также видно, что сила N монотонно убывает по мере подъёма тела по жёлобу и достигает наименьшего значения в высшей точке, которой соответствует =0, cos =1:
N
min
=
mg
2h
R
–
5
.
(8)
Если тело не отрывается от желоба в верхней точке, то оно не оторвётся и ни в какой другой. Поэтому формула (8) позволяет найти ту минимальную начальную высоту hmin, при которой тело совершает полный оборот, не отрываясь от желоба. Полагая в (8) Nmin=0, находим
h
min
=
5R
2
.
(9)
Рис. 13.4. В разрыве «петли» между точками A и B тело движется по параболе
Рассмотрим теперь движение тела по петле с вырезом. Для того чтобы тело могло совершить «мёртвую петлю», в этом случае необходимо, чтобы, сорвавшись с края выреза в точке A и пролетев часть пути по параболе под действием только силы тяжести, оно попало бы как раз на продолжение желоба в точку B (рис. 13.4). Движение после отрыва от желоба происходит по закону
r
=
vt
+
gt^2
2
,
(10)
если начало отсчёта времени t и положения r выбраны в момент отрыва и в точке отрыва. Так как в точке отрыва A скорость v направлена по касательной к жёлобу, то, проецируя уравнение (10) на горизонтальное (x) и вертикальное (y) направления и требуя, чтобы траектория проходила через точку B (траектория 1 на рис. 13.4), получим
2R
sin
=
v
cos ·t
,
0
=
v
sin ·t
–
gt^2
2
.
(11)
Находя t из второго уравнения и подставляя в первое, получаем
v
=
gR
cos
.
(12)
Именно
Теперь обратим внимание на то, что формула (12) была получена только из кинематических соображений при рассмотрении свободного полёта тела от точки A к B. Поэтому необходимо проверить, что при такой скорости в точке A тело действительно сможет дойти до неё, двигаясь по жёлобу. Другими словами, нужно убедиться, что при такой скорости тело оказывает давление на жёлоб, т.е. вычисляемая по формуле (3) при = сила N больше нуля. Подставляя v^2 из (12) в формулу (3), получаем
N
=
mg
1
cos
–
cos
.
Это выражение неотрицательно при любых от 0 до /2, которые только и представляют интерес. Скорость в точке A связана с искомой начальной высотой h соотношением (5), в котором, разумеется, угол следует заменить на :
v^2
=
2gR
h
R
– 1-
cos
.
(13)
Приравнивая правые части выражений (12) и (13), находим
h
=
R
1+
cos
+
1
2 cos
.
(14)
Эта формула даёт то значение начальной высоты h, при котором тело преодолеет мёртвую петлю с вырезом именно так, как нужно, - покинув жёлоб в точке A, вновь коснётся его как раз в точке B. Касание желоба в точке B произойдёт без удара, так как скорость тела при движении по параболе в этой точке будет направлена по касательной к жёлобу.
Если начальная высота будет меньше, чем значение, даваемое формулой (14), то, даже если тело дойдёт по жёлобу до точки A, дальше оно полетит по параболе 2 на рис. 13.4 и ударится о жёлоб ниже точки B. Если же начальная высота будет больше, чем нужно, то тело вообще вылетит из желоба через разрез, двигаясь по параболе 3.
Исследуем зависимость необходимой начальной высоты h от угла , характеризующего вырез. Как видно из формулы (14), при =0, т.е. при отсутствии выреза, h=5R/2, что совпадает с минимальной начальной высотой (9), которая требуется для преодоления замкнутой петли. С увеличением угла начальная высота убывает, достигая минимума, равного h=(1+R), при =/4. Действительно, зависящие от слагаемые в формуле (14) cos +1/(2 cos ) можно записать в виде
1
2
x
+
1
x
,
где через x обозначено 2cos . Но x+1/x имеет минимум, равный двум, при x=1, откуда и получаются приведённые значения минимальной высоты h и угла =/4. При дальнейшем увеличении угла высота h монотонно возрастает и стремится к бесконечности при ->/2 (рис. 13.5). При =/3, как легко убедиться, высота h снова равна 5R/2. Таким образом, если угол выреза меньше /3, необходимая начальная высота меньше, чем при замкнутом жёлобе.