Физика времени
Шрифт:
Описывать полет стрелы, снаряда, камня, мяча, имеющих в начале движения такую-то скорость, направленную под таким-то углом к горизонту, мы учимся в школе на уроках физики. Мы узнаём, что горизонтальная составляющая скорости при полете тела не меняется — в пренебрежении, конечно, сопротивлением воздуха. Направленная же вверх вертикальная составляющая скорости убывает из-за действия силы тяжести. В верхней точке пути она обращается в нуль. Затем вертикальная составляющая скорости растет по величине — тоже из-за силы тяжести, но теперь она направлена не вверх, а вниз. Исходя из этих соображений, мы легко можем подсчитать и дальность полета стрелы, и максимальную высоту ее подъема, и скорость в каждой точке пути — все, что ни пожелаем. При таком способе действий нас не подстерегают никакие тупики и головоломки. А если
Собеседники Зенона не знали того, что знает сейчас школьник. Динамики, физической науки о движениях тел под действием приложенных к ним сил, тогда еще не существовало. Что могли они противопоставить загадкам Зенона? Прежде всего, сам очевидный факт движения. Вот стихотворение А.С.Пушкина «Движение» — о Зеноне и его собеседниках:
«Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить. Сильнее бы не мог он возразить; Хвалили все ответ замысловатый. Но, господа, забавный случай сей Другой пример на память мне приводит: Ведь каждый день пред нами Солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей.»Галилей прав в отстаивании взглядов Коперника на устройство Солнечной системы. И очевидность — это и вправду еще далеко не все. Движение, бесспорно, существует, но что в действительности стоит за наблюдаемой нами картиной? Даже описав самым исчерпывающим образом полет стрелы с помощью динамики, мы еще не знаем, что ответить Зенону.
Зенон предлагает нам рассуждать о движении с помощью наглядных, простых и очевидных образов — мгновение, положение в каждое мгновение и т. д. Мы, не подозревая подвоха, следуем за ним… и оказываемся в тупике. Но, видимо, сами эти образы хороши не всегда; они могут указывать только какие-то отдельные свойства движения, но, как демонстрирует нам Зенон, иногда не «работают». Они могут оказаться недостаточными и даже обманчивыми, вводящими в заблуждение.
Разгадать загадку Зенона, пользуясь им самим предложенными образами, кажется, невозможно. Хоть этому занятию и предавались вслед за ним лучшие умы многих поколений. Но как представить себе движение, составленное из неподвижностей? Да и состоит ли оно из них на самом деле?
Ахиллес и черепаха
Вот еще одна апория Зенона — «Ахиллес и черепаха». Приводим ее в изложении Симплиция, ученого VI века нашей эры.
«…речь идет об Ахиллесе, который, как гласит этот довод, не может догнать черепаху, которую он преследует. Ибо догоняющий должен, прежде чем он догонит преследуемого, достигнуть точки, из которой преследуемый начал свое движение. Но за время, необходимое преследователю для достижения этой точки, преследуемый, воспользовавшись этим, пройдет еще какое-то расстояние. Даже если это расстояние меньше расстояния, пройденного преследователем, поскольку преследуемый движется медленнее, все же он продвинется вперед, так как не стоит на месте…
Таким образом, в течение каждого периода времени, за который преследователь покрывает расстояние, уже пройденное преследуемым, … преследуемый пройдет еще дальше вперед на какое-то расстояние; и хотя это расстояние постепенно уменьшается в силу того, что преследующий имеет более высокую скорость, оно представляет собой продвижение на какую-то положительную величину…» Между Ахиллесом, как бы быстро он ни бежал, и черепахой всегда останется промежуток — он не догонит ее.
Эта апория вызывала и до сих пор вызывает, пожалуй, еще больше споров, чем «Стрела». Приведем некоторые высказывания о ней, принадлежащие историкам, философам, математикам нашего времени (они собраны в книге Дж. Уитроу — см. список литературы в конце книги).
«… знаменитая апория, которая оказала громадное влияние на развитие науки».
«Эта
«Это очень старая и, на мой взгляд, глупая проблема».
«Это неиссякаемая по своей глубине проблема привлекает внимание многих блестящих умов».
«Зенон совершил математическую ошибку, обусловленную его незнанием бесконечных числовых рядов».
Об Ахиллесе и черепахе вспоминает Лев Толстой в «Войне и мире». Он рассуждает об историческом развитии, о законах «исторического движения» и говорит про «неизбежную ошибку, которую ум человеческий не может не делать, рассматривая вместо непрерывного движения отдельные единицы движения». Он полагает, что об этом «софизме древних» полезно и поучительно подумать и историкам. «Для человеческого ума, — пишет Толстой, — непонятна абсолютная непрерывность движения. Человеку становятся понятны законы какого бы то ни было движения только тогда, когда он рассматривает произвольно взятые единицы этого движения. Но вместе с тем из–за этого-то произвольного деления непрерывного движения на прерывные единицы проистекает большая часть человеческих заблуждений». Толстой полагает, что «новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно малыми величинами, и в других, более сложных вопросах движения дает теперь ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми» (том третий, часть третья, глава первая). Он тоже, как видно, полагал, что все дело в суммировании бесконечных рядов, и вместе с тем говорил о неизбежной ошибке, «которую ум человеческий не может не делать...».
Задумаемся над тем, что предлагает нам Зенон. Если Ахиллес пробегает один за другим все отрезки пути, как предписывает ему Зенон, то бегун выполняет бесконечное число действий, — ведь мы видели, что этих отрезков бесконечное число. Можно ли выполнить бесконечное число действий за конечное время? Если да, черепаху можно догнать, если же нет…
Зенон заставляет рассуждать о бесконечностях. А наш ум не очень уверенно обходится с ними. При неосторожном обращении бесконечности вполне способны сбить с толку, привести к абсурдным выводам.
Да, кажется нам, как же это может быть — бесконечное число действий за конечное время. Это трудно себе представить… Скорее, это невозможно. Но ведь тогда мы должны сдаться и согласиться с Зеноном: он прав — черепаху не догнать.
А как мы решили бы эту задачу в школе? Очень просто. Скорость черепахи — это, скажем, 1 сантиметр в секунду. Ахиллес — хороший бегун, пусть его скорость в тысячу раз больше, что близко к мировому рекорду на стометровой дистанции. Наконец, пусть расстояние между ними в начальный момент составляет 50 метров. Сколько времени Ахиллесу понадобится, чтобы догнать черепаху?
Это время получается делением исходного расстояния на разность скоростей бегуна и черепахи. Ответ: Ахиллес догонит черепаху приблизительно через 5 секунд. Или через 5,005005 секунды — с точностью до шестого знака после запятой.
Никаких бесконечностей в школьной задаче не возникает. Нам не пришлось суммировать «бесконечные числовые ряды». Да разве мы сомневались, что Ахиллесу ничего не стоит догнать черепаху?
Зенон ставит вопросы, задевающие нас за живое. Он знает, как возбудить наш протест против абсурда и заставить думать о том, в чем ум теряется и склонен впадать в заблуждение.
Мгновение и длительность
В апории «Ахиллес и черепаха» (да, по существу, и в «Стреле» тоже) речь идет о дроблении пути и времени на малые отрезки и кратчайшие мгновения. Но можно ли вообще делить пространство и время на сколь угодно мелкие доли? Возможно ли их неограниченное, бесконечное дробление?
Приведем еще одну апорию Зенона, которая называется «Дихотомия» (дихотомия по-гречески значит деление на два).
«Наше движение никогда не может начаться, так как, прежде чем пройти какое-то расстояние, мы должны пройти сначала его половину. А чтобы пройти половину, нужно прежде преодолеть четверть и так далее до бесконечности. Следовательно, для того чтобы пройти какое-то расстояние за конечное время, нам нужно осуществить за это время бесконечное число действий». Последнее отвергается как невозможное, но тогда невозможно и движение.