Флатландия

Эбботт Эдвин

Что увидел Квадрат, наблюдая за подъемом Сферы.

Каждый читатель, живущий в Трехмерии, легко поймет, что мой таинственный гость говорил со мной на языке истины и даже изрекал довольно простые утверждения. Но мне, хотя я и считался не последним математиком Флатландии, понять его было нелегко. Из приведенной на рисунке грубой схемы даже ребенку, обитающему в Трехмерии, ясно, что Сфера, поднимаясь в Пространство, в трех изображенных на схеме положениях

казалась мне и должна была казаться любому флатландцу Окружностью (сначала — в полную величину (а), затем поменьше (б) и наконец очень маленькой (в), стягивающейся в Точку). Но для меня, хотя я и созерцал собственным глазом все происходящее, причины по-прежнему оставались покрытыми тьмой. Я мог постичь лишь то, что Окружность начала уменьшаться к исчезла, а затем вновь появилась и стала быстро увеличиваться в размерах.

Достигнув первоначальной величины, Незнакомец испустил глубокий вздох, ибо по моему молчанию он понял, что ему так и не удалось убедить меня. И действительно, я был склонен думать, что передо мной совсем не Окружность, а необычайно ловкий фокусник, или, если верить бабушкиным сказкам, колдун и чародей.

После долгого молчания Незнакомец пробормотал себе под нос: «Если не прибегать к насилию, то остается единственное средство: воспользоваться методом аналогии». Затем, помолчав еще какое-то время, Незнакомец продолжил наш диалог.

Сфера. Скажите мне, господин Математик: если Точка движется к северу, оставляя за собой светящийся след, то как вы назовете ее след?

Я. Отрезком прямой.

Сфера. А сколько концов у такого Отрезка?

Я. Два.

Сфера. Представьте себе, что Отрезок прямой, проходящей с юга на север, движется параллельно самому себе с востока на запад. Каждая Точка Отрезка оставляет за собой след, который имеет вид Отрезка прямой. Как вы назовете образовавшуюся при этом Фигуру? Для простоты предположим, что Отрезок переместился на расстояние, равное собственной длине. Как вы назовете образовавшуюся Фигуру, хотел бы я знать?

Я. Квадратом.

Сфера. А сколько у Квадрата сторон и углов?

Я. Четыре стороны и четыре угла.

Сфера. Напрягите слегка свое воображение и представьте себе Квадрат во Флатландии, который движешься параллельно себе вверх.

Я. Как вы сказали? К северу?

Сфера. Нет, не к северу, а вверх, из Флатландии. Если бы Квадрат двигался в северном направлении, то его южные Точки должны были бы проходить по тем местам, где ранее находились его северные Точки. Я же имею в виду другое.

Я хочу сказать, что каждая ваша Точка (поскольку вы Квадрат и вполне подходите для моего примера), то есть каждая точка, принадлежащая той вашей части, которую вы называете своей внутренностью, должна двигаться сквозь Пространство вверх. Иначе говоря, вы должны двигаться в таком направлении, чтобы ни одна Точка не занимала положения, которое ранее занимала другая ваша Точка, причем каждая Точка описывала бы Отрезок прямой. Тогда ваша аналогия

с движением Отрезка, порождающим Квадрат, была бы полной. Должно быть, это вам ясно.

Сдерживая нетерпение (ибо я испытывал сильное искушение броситься на своего Гостя и вытолкнуть его в Пространство или куда угодно из Флатландии, лишь бы наконец избавиться от него), я ответил:

— Что представляет собой Фигура, которую я описал бы, двигаясь в направлении, называемом вами направлением «вверх»? Не могли бы вы описать ее на языке Флатландии?

Сфера. Разумеется, мог бы. Такое описание совсем не сложно и находится в полном соответствии с проводимой мной аналогией. Замечу лишь, что часть Пространства, описанную вашими Точками, следует называть не Фигурой, а Телом.

Итак, я опишу вам это Тело, точнее говоря, не я, а аналогия.

Мы начали с рассмотрения Точки, Поскольку Точка не содержит других точек, кроме себя, то число концов конечных Точек) у нее, как нетрудно видеть, равно 1. Таким образом, у Точки есть лишь одна конечная Точка.

Точка порождает Отрезок прямой, имеющий две конечные Точки.

Отрезок прямой порождает Квадрат, обладающий четырьмя конечными Точками (вершинами).

Попытайтесь теперь сами ответить на свой вопрос. Числа 1, 2, 4 образуют геометрическую прогрессию. Каков ее следующий член?

Я. Он равен 8.

Сфера. Совершенно верно. Итак, Квадрат порождает Нечто, не имеющее названия на языке флатландцев. Это Нечто мы называем Кубом. Число вершин у Куба равно восьми. Теперь вам ясно?

Я. Есть ли у Существа, именуемого вами Кубом, стороны, углы или то, что вы называете «конечными Точками»?

Сфера. Разумеется, есть, причем в полном соответствии с аналогией. Кстати сказать, говоря о сторонах Куба, необходимо иметь в виду, что речь идет о сторонах, понимаемых не в вашем, флатландском, а в нашем, трехмерном, смысле. Вы бы назвали эти стороны объемными.

Я. Сколько таких объемных сторон имеется у Существа, именуемого вами Кубом, которое я описал бы, двигаясь «вверх» своей внутренностью?

Сфера. Как вам не стыдно задавать мне такой вопрос? Вы же математик! Сторона чего угодно всегда имеет размерность, которая на единицу меньше размерности этого, если можно так выразиться, Чего угодно. Следовательно, поскольку Точка обладает наименьшей размерностью, то у Точки 0 «сторон». Отрезок прямой имеет 2 «стороны» (разумеется, конечные Точки Отрезка можно назвать сторонами лишь из вежливости), Квадрат — 4 стороны. Итак, мы получаем числа 0, 2, 4. Как вы назовете образуемую ими прогрессию?

Я. Арифметической.

Сфера. А чему равен ее следующий член?

Я. Шести.

Сфера. Совершенно верно. Итак, вы сами ответили на свой вопрос. Куб, который бы вы породили, двигаясь вверх параллельно самому себе, ограничен шестью сторонами, то есть шестью вашими внутренностями. Теперь вам все стало ясно?

— Чудовище! — воскликнул я — Будь ты презренный фокусник, колдун, чародей, наваждение или дьявол, я не стану более терпеть твои насмешки. Один из нас — либо ты, либо я — должен погибнуть.