ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
Шрифт:
Счастливого пути!
Обзор
Часть I: ГЭБ
Интродукция: Музыко-логическое приношение. Книга начинается с истории Баховского «Музыкального приношения». Бах неожиданно посетил короля Пруссии Фридриха Великого. Король предложил Баху тему для импровизации; результат явился основой этого великого творения. «Музыкальное приношение» и история его создания являются той темой, на которую я «импровизирую» в этой книге, создавая, таким образом, нечто вроде «Метамузыкального приношения». В интродукции обсуждается автореферентность и взаимодействие между различными
Трехголосная инвенция. Бах написал пятнадцать трехголосных инвенций. В этом трехголосном Диалоге Черепаха и Ахилл — главные действующие лица моих Диалогов — «изобретаются» Зеноном (как на самом деле и произошло, для иллюстрации парадоксов Зенона о движении). Этот Диалог совсем коротенький; он дает читателю почувствовать дух последующих Диалогов.
Глава I: Головоломка MU. Представлена простая формальная система, MIU; чтобы ближе ознакомиться с формальными системами, читателю предлагается найти решение некоей головоломки. Вводится несколько основных понятий: строчка, теорема, аксиома, правило вывода, деривация, формальная система, разрешающая процедура, работа внутри и вне системы.
Двухголосная инвенция. Бах написал также пятнадцать двухголосных инвенций. Этот двухголосный Диалог был написан не мной, а Люисом Кэрроллом в 1895 году. Кэрролл позаимствовал Ахилла и Черепаху у Зенона, а я, в свою очередь, позаимствовал их у Кэрролла. Тема Диалога — отношения между рассуждениями, рассуждениями о рассуждениях, рассуждениями о рассуждениях о рассуждениях и так далее. В каком-то смысле парадокс Кэрролла параллелен парадоксу Зенона о невозможности движения, путем бесконечного регресса доказывая, что рассуждения невозможны. Этот парадокс очень красив; он упоминается в книге несколько раз.
Глава II: Значение и форма в математике. Вводится новая формальная система (система pr), еще более простая, чем система MIU предыдущей главы. Ее символы, вначале кажущиеся бессмысленными, приобретают значение благодаря форме тех теорем, в которых они находятся. Глубокая связь значения с изоморфизмом — наше первое важное открытие. В этой главе обсуждаются многие темы, связанные со значением: истина, доказательство, манипуляция символами, а также само ускользающее понятие «формы».
Соната для Ахилла соло. Диалог, имитирующий сонату Баха для скрипки соло. Ахилл — единственный собеседник, поскольку это запись его реплик в телефонном разговоре с Черепахой. Речь идет о «рисунке» и «фоне» в разных контекстах — например, рисунки Эшера. Сам Диалог — пример такого различия, поскольку реплики Ахилла представляют «рисунок», а соответствующие воображаемые ответы Черепахи — «фон».
Глава III: Рисунок и фон. Различие между рисунком и фоном в изобразительном искусстве сравнивается с различием между теоремами и не-теоремами в формальных системах. Вопрос «содержит ли рисунок ту же информацию, что и фон?» ведет к различию между рекурсивно перечислимыми и рекурсивными множествами.
Акростиконтрапунктус.
Глава IV: Непротиворечивость, полнота и геометрия. Предыдущий Диалог разъясняется настолько, насколько это возможно на данном этапе. Это снова приводит к вопросу, когда и каким образом символы в формальных системах приобретают значение. Для иллюстрации труднообъяснимого понятия «неопределенных термов» используется история эвклидовой и неэвклидовой геометрии. Это ведет к идеям о непротиворечивости различных и, возможно, «соперничающих» геометрий. Это обсуждение разъясняет понятие неопределенных термов и их отношение к восприятию и мыслительным процессам.
Маленький гармонический лабиринт. Этот Диалог основан на органной пьесе Баха того же названия. Это забавное введение в понятие рекурсивных — то есть вложенных одна в другую — структур. Основная история, вместо того, чтобы закончиться, обрывается на полпути, так что читатель зависает в воздухе. Одна из историй-матрешек касается модуляций в музыке и, в особенности, в одной органной пьесе, заканчивающейся в неправильной тональности, так что слушатель зависает в воздухе.
Глава V: Рекурсивные структуры и процессы. Идея рекурсии представлена в разных контекстах: музыкальные, лингвистические и геометрические структуры, математические функции, физические теории, компьютерные программы и т. д.
Канон с интервальным увеличением. Ахилл и Черепаха пытаются ответить на вопрос: «Где содержится больше информации — в пластинке или в патефоне?» Этот странный вопрос возникает, когда Черепаха описывает пластинку с некоей оригинальной записью. Будучи проиграна на разных патефонах, эта запись воспроизводит две различные мелодии: В-А-С-H и C-A-G-E. Однако оказывается, что, в некотором смысле, эти две мелодии — «одно и то же».
Глава VI: Местонахождение значения. Подробное обсуждение того, каким образом значение разделено между закодированным сообщением, дешифрующим механизмом и получателем этого сообщения. В качестве примеров приводятся цепочки ДНК, нерасшифрованные старинные надписи и пластинки, затерянные в космосе. Предполагается связь разума с «абсолютным» значением.
Хроматическая фантазия и фига. Короткий Диалог, почти ничем, кроме названия, не похожий на Баховскую «Хроматическую фантазию и фугу». Речь здесь идет о том, как правильно манипулировать высказываниями, чтобы они оставались истинными; в частности, обсуждается вопрос, существуют ли правила обращения с союзом «и».
Глава VII: Исчисление высказываний. Обсуждается, как слова, подобные «и», могут управляться формальными правилами. Снова используются идеи изоморфима и автоматического приобретения значения символами в подобной системе. Между прочим, все примеры в этой главе — «дзентенции», суждения, взятые из коанов дзена. Это сделано специально; ирония в том, что коаны дзена намеренно нелогичны.