Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Шрифт:
Билет № 7
1. Преобразования плоскости. Преобразование подобия. Гомотетия.
2. Докажите, что точка пересечения боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.
3. Свойство точки пересечения медиан.
4. В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а величина угла при вершине М равна arctg2/3. Найти длину диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN.
5.
Билет № 8
1. Равенство фигур. Признаки равенства треугольников.
2. Уравнение прямой. Геометрический смысл числа k в уравнении у = kx + b.
3. Число ? и методы его вычисления. Длина окружности.
4. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти её длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и ?CDB = ?.
5. В треугольнике ABC угол ВАС прямой, длины сторон АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону АС в точке L, G – точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше, длина BL или длина BG?
Билет № 9
1. Свойства параллельных прямых. Сумма углов треугольника и выпуклого n-угольника.
2. Формулы приведения.
3. Теорема Менелая и обратная к ней.
4. Центр О окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5.
5. Продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Точки M и N – середины сторон АВ и CD. Доказать, что если прямая MN проходит через точку Р, то ABCD – трапеция.
Билет № 10
1. Геометрическое место центров вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.
2. Теорема Чевы и обратная к ней.
3. Многоугольники. Правильные многоугольники. Формулы R и r для правильного n-угольника со стороной а.
4. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину а. Поворотом в этой плоскости данного треугольника вокруг вершины его прямого угла на угол 45° получается другой равнобедренный прямоугольный треугольник. Найти площадь четырёхугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников.
5. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM.
Билет № 11
1.
2. Использование теорем синусов и косинусов для решения треугольников.
3. Свойства ромба, прямоугольника, квадрата.
4. На плоскости даны две окружности радиусов 12 см и 7 см с центрами в точках О1 и O2, касающиеся некоторой прямой в точках М1 и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка M1M2 к длине отрезка О1O2 равно
Вычислить длину отрезка М1М2.
5. Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором проведены высота CD и перпендикуляр DE к боковой стороне ВС. Точка М – середина отрезка DE. Доказать, что отрезки АЕ и СМ перпендикулярны.
Билет № 12
1. Признаки и свойства параллелограмма.
2. Формула Эйлера о расстоянии между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.
3. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Основные тригонометрические тождества.
4. В треугольниках ABC и А1В1С1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1, длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно ?n (где n – целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение?
5. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС и с боковыми сторонами АВ и CD вписана окружность с центром О. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, ОС = 2 и OD = 4.
Билет № 13
1. Аксиоматический подход в геометрии. Требования к системе аксиом. Аксиоматическая теория.
2. Теорема синусов. Формула 2R = a/sin ?.
3. Вписанные в окружность углы. Соотношение между вписанным и центральным углами, опирающимися на одну дугу.
4. В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника ВСЕ, если АВ = 30 см, DC = 24 см, AD = 3 см и ?DAB = ?/3.
5. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника.
Билет № 14
1. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках.
2. Длина медианы треугольника.
3. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Угол между прямыми.
4. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна ?/6. Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга.