Характер Физических Законов
Шрифт:
Это означает, что скорость изменения скорости изменения площади есть составляющая силы, направленная под прямым углом к радиусу. Но если сила направлена по радиусу,
r x F / m = 0
как утверждал Ньютон, то под прямым углом к радиусу она не действует, а значит, скорость изменения площади не изменяется:
A'' = 0.
Мы видим, как много нам дает анализ при помощи символов. Ньютон более или менее умел это делать, только в несколько других обозначениях. Но он предпочел геометрические доказательства, стремясь к тому, чтобы люди могли прочесть его статьи. Он сам изобрел исчисление бесконечно малых, которым я воспользовался во втором доказательстве.
Это хорошая иллюстрация взаимоотношений между математикой и физикой. Когда в физике
Каждый кто рассуждает о чем-нибудь точно, показывает тем самым, как человек мыслит, и если представить его рассуждения в общем виде и передать математикам, то они внесут его в свои книги в качестве раздела математики. Математика - это путь, по которому мы переходим от одной совокупности утверждений к другой. И она, очевидно, полезна в физике, потому что говорить о вещах мы можем по-разному, а математика позволяет нам выяснить следствия, анализировать ситуации и видоизменять законы, чтобы связать различные утверждения. В общем физик знает очень мало. Он только должен помнить правила, которые позволяют переходить от одного к другому, ибо все эти различные утверждения о равенстве интервалов времени, о силе, направленной по радиусу, и т.д. тесно связаны логикой.
Тут возникает интересный вопрос. Существует ли какая-нибудь отправная точка для всех наших выводов? Существует ли в природе такой порядок, который позволял бы нам говорить, что одна совокупность утверждений - более фундаментальная, а другая представляет собой ее следствие?
Возможны два взгляда на математику. Для удобства один из них я назову вавилонской традицией, а другой - греческой традицией.
В вавилонских школах математики ученик решал огромное множество примеров, пока не улавливал общего правила. Он подробно знал геометрию, множество свойств круга, теорему Пифагора, формулы для площадей квадратов и треугольников; кроме того, существовали некоторые способы выводить одно из другого. Имелись числовые таблицы, при помощи которых можно было решать сложные уравнения. Все было подготовлено для того, чтобы производить вычисления. Но Евклид обнаружил, что все теоремы геометрии можно вывести из нескольких простых аксиом.
Вавилонский подход - я назвал бы его вавилонской математикой - заключается в том, что вы знаете самые разные теоремы, многие связи между ними, но не осознаете до конца, что все они могут быть выведены из набора аксиом. Самая же современная математика делает упор на аксиому и доказательства, исходя из очень четких соглашений о том, что можно и что нельзя считать аксиомами. Современная геометрия берет аксиомы, подобные евклидовым, но несколько усовершенствованные, и выводит из них все остальное. Например, такие теоремы, как теорема Пифагора (сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы), не будут аксиомами. Но возможно и другое построение геометрии - так, например, в геометрии Декарта теорема Пифагора является аксиомой.
Итак, прежде всего мы должны согласиться с тем, что даже в математике можно отправляться от разных исходных положений. Поскольку все теоремы связаны друг с другом логикой, нельзя сказать, что такие-то утверждения мы считаем основными аксиомами, ибо если вместо них вам предложат другие аксиомы, то и по ним вы сможете построить всю геометрию. Это подобно мосту, составленному из одинаковых секций. Если он развалится, вы можете восстановить его, соединив секции в другом порядке. Сегодняшняя математическая традиция состоит в том, что берут определенные идеи, которые условились считать аксиомами, и исходя из них строят все здание. Если же следовать вавилонской традиции, то мы скажем: "Я знаю то, я знаю это и как будто бы знаю вот это; отсюда я вывожу все остальное. Может быть, завтра я что-то забуду, но что-то я буду помнить и по этим остаткам смогут восстановить все заново. Я не очень хорошо знаю, с чего я должен начать и чем кончить. Но в голове у меня всегда достаточно сведений, так что если я забуду
Доказывая теоремы, невыгодно каждый раз начинать с аксиом. Вы не сильно преуспеете в геометрии, если станете оказывать всякое положение, каждый раз отправляясь от аксиом. Конечно, если вы располагаете определенными сведениями в геометрии, то всегда сможете вывести из них кое-что еще; но гораздо выгоднее поступать иначе. Дорога, которая начинается с выбора наилучших аксиом, не всегда кратчайшая дорога к цели. В физике нам нужен вавилонский метод, а не греческий. Постараюсь объяснить, почему.
При евклидовом подходе наша задача - подобрать как можно более интересные и важные аксиомы. Но относительно тяготения, например, мы могли бы спросить себя: какая аксиома лучше - о том, что сила направлена к центру, или о том, что за равные промежутки времени описываются равные площади?
Если я буду исходить из того, каковы силы, то смогу рассматривать систему, состоящую из многих тел, орбиты которых уже не являются эллипсами, потому что силовая формулировка говорит мне о взаимном притяжении этих тел. В этом случае теорема о равенстве площадей несправедлива. Поэтому мне кажется, что аксиомой должен быть именно закон сил.
С другой стороны, принцип равенства площадей можно сформулировать в виде более общей теоремы для многих тел. Она довольно сложна и совсем не так красива, как первоначальное утверждение о равенстве площадей, но, несомненно, является его порождением. Рассмотрим систему многих тел, взаимодействующих друг с другом, например Юпитер, Сатурн, Солнце, множество звезд, и, глядя на них издали, спроектируем свою систему на плоскость (рис. 16).
Тела движутся в разных направлениях. Возьмем в качестве центра произвольную точку и подсчитаем, какую площадь описывают радиусы, проведенные из центра к каждому телу. При этом будем учитывать массу - если у одного тела масса вдвое больше, чем у другого, то соответствующую площадь будем умножать на два. Так мы подсчитаем все площади, описываемые радиусами, а затем сложим их пропорционально соответствующим массам, Такая сумма площадей не будет изменяться со временем. Она называется моментом количества движения системы, а закон - законом сохранения момента количества движения. "Сохранение" означает всего-навсего, что величина не изменяется.
Вот одно из следствий этого закона. Вообразим множество звезд, которые сближаются друг с другом, чтобы образовать туманность или галактику. Сначала они разбросаны очень далеко от центра. Звезды медленно движутся вокруг него, и радиусы описывают определенные площади. По мере их сближения расстояния до центра сокращаются, радиусы уменьшаются, и, чтобы описать прежнюю площадь, звезды вынуждены двигаться гораздо быстрее. Таким образом, сближаясь, звезды вращаются все быстрее и быстрее. Этим (приблизительно) и объясняется форма спиральных туманностей. То же самое происходит, когда фигурист крутится на льду. Он начинает, отставив ногу, и вращается медленно, а опуская ногу, крутится быстрее. Когда нога вытянута, она описывает за секунду определенную площадь. Опустив ее, фигурист должен вращаться гораздо быстрее, чтобы описать ту же самую площадь. Правда, я доказывал это не для людей - они пользуются мускульной силой, а не силой тяготения. Но закон справедлив и для спортсменов.
Тут мы приходим к интересной проблеме. Зачастую из частного закона физики, такого, как закон тяготения, можно вывести принцип гораздо более общий, чем само содержание частного закона. В математике этого не бывает; теоремы не появляются там, где их не ожидают. Поясним примером. Если в качестве постулата физики мы взяли бы закон равенства площадей для сил тяготения, то мы могли бы вывести закон сохранения момента импульса, но только для сил тяготения. А на опыте мы обнаруживаем, что закон сохранения момента распространяется на более широкий круг явлений. Ньютон принял другие постулаты, и ему удалось получить при их помощи более общий закон сохранения момента импульса.