Играют ли коты в кости? Эйнштейн и Шрёдингер в поисках единой теории мироздания

Хэлперн Пол

Предположим, вам известно распределение массы и энергии в некоторой области пространства, и вы хотите определить, как в ней будут двигаться тела. Вот алгоритм расчета. Сначала используйте уравнения Эйнштейна, чтобы получить тензор Эйнштейна из тензора энергии-импульса. И тензор Эйнштейна, и связанный с ним тензор кривизны Римана (первый является своего рода сокращенной записью последнего) кодируют информацию о кривизне пространства-времени от точки к точке. Затем используйте компоненты либо тензора Эйнштейна, либо тензора Римана, чтобы построить геометрический объект, называемый аффинной связностью (или связностью Кристоффеля). Связность определяет то, как компоненты векторов (объектов, обладающих длиной и направлением) преобразуются, если вы перемещаете

их параллельно самим себе от точки к точке. Далее, используйте аффинные связности, чтобы вычислить компоненты метрического тензора. Метрический тензор сшивает ткань пространства-времени, указывая, каким образом измерять расстояния между точками. Он предлагает модификацию теоремы Пифагора для искривленного пространства-времени. Наконец, используйте метрику для определения наиболее коротких путей, по которым в пространстве могут двигаться объекты. Из-за деформации пространства-времени они, как правило, будут изогнутыми, как, например, эллиптические орбиты планет вокруг Солнца.

Хотя математика общей теории относительности может напугать даже аспирантов, давайте воспользуемся аналогией, чтобы проиллюстрировать ее различные уровни. Начнем с плоской безграничной пустыни, представляющей собой пустое пространство-время. Раскидаем камни различных размеров и масс, — пусть символизируют разнообразные массивные объекты во Вселенной (например, звезды и планеты). Мы обнаружим, что более тяжелые камни будут давить на песок гораздо сильнее, чем легкие, оставляя гораздо более глубокие вмятины. А области вдали от камней останутся плоскими. Следовательно, чем большая масса находится в конкретном регионе, закодированная в тензоре энергии-импульса, тем больше эта область прогибается, демонстрируя большую кривизну, измеряемую тензором Эйнштейна.

Теперь представьте, что в нашей аналогии вы не можете ходить по песку или по камням — они слишком горячие. Поэтому нам нужно построить крепкий навес, поддерживаемый структурой, которая соответствует топографии. Мы собираем множество шестов (локальных координатных осей) и перекладин (аффинных связностей), чтобы построить каркас. Перекладины должны соединять шесты не как попало, а так, чтобы избежать пересечения отдельных перекладин. Точно так же аффинные связности определяют, как оси координат изменяются при сдвиге в пространстве в зависимости от расположения горок или ям.

Наконец, сошьем плотный навес, скроенный точно по каркасу. В некоторых местах мы должны сшить соседние лоскуты крепче, чтобы обеспечить изгиб ткани. В других местах нужно, наоборот, ослабить соединение между соседними лоскутами. Выкройка, которая определяет, как правильно прострочить навес, чтобы он точно соответствовал каркасу (и следовательно, горкам и ямам в песке), символизирует метрический тензор. Таким образом, мы видим, как метрический тензор стягивает ткань пространства-времени под управлением аффинной связности, которая в свою очередь зависит от тензора Эйнштейна, формируемого тензором энергии-импульса. Теперь понятно?

Давайте прогуляемся по нашему навесу в пространстве-времени. Нам нужен самый быстрый маршрут, поэтому мы стремимся к прямой линии. Тем не менее навес прогибается там, где под ним есть массивная группа камней, искривляя линии, которые на плоской ткани были бы прямыми. В итоге получается, что мы следуем по изогнутой линии, огибающей данную область по эллипсу. Удивительно, но мы попали на орбиту — в точности как молодой Шрёдингер, бегавший вокруг своей тети, когда они играли в планеты.

Вечная Вселенная

После того как работа над общей теорией относительности была завершена, Эйнштейн решил применить ее ко всей Вселенной в целом. Он хотел показать, что Вселенная является относительно стабильным скоплением звезд и других небесных тел. Конечно, звезды движутся, но медленно. Предложенная Эйнштейном космология придала бы ньютоновскому «абсолютному пространству» неизменность

и устойчивость, без обращения к тому, что он, следуя Маху, рассматривал как фикцию.

Эйнштейн решил начать свои космологические расчеты с основного предположения о том, что пространство изотропно, то есть одинаково во всех направлениях. Чтобы задать форму пространства, он выбрал простое четырехмерное геометрическое тело, которое называется гиперсферой. Гиперсфера является многомерным обобщением сферы. Если вы живете на гиперсфере и отправляетесь в путешествие в любом направлении, вы в конечном итоге вернетесь к отправной точке, как если бы совершили кругосветное путешествие на Земле. Преимущество Вселенной, имеющей форму гиперсферы, в том, что она конечна, но не имеет границ. Только наблюдатель за пределами Вселенной заметил бы ее «поверхность». В пространстве гиперсферы нет никаких границ, только бесконечное повторение. Аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес замечательно отобразил эту концепцию в своем рассказе «Вавилонская библиотека», в котором он представил космос в виде огромной, но конечной и повторяющейся коллекции книг.

Эйнштейн пытался найти статическое решение для своих полевых уравнений, но вскоре обнаружил одну проблему. Единственное решение, которое он нашел, оказалось неустойчивым. Если слегка подтолкнуть такую Вселенную, лишь чуть-чуть изменив распределение материи, она либо схлопнется, либо раздуется, как сдувающийся или надуваемый воздушный шар. Для описания вечной, стабильной Вселенной такое решение, разумеется, не годилось, а до открытия Эдвином Хабблом космологического расширения — последствий того, что мы сегодня называем «Большим взрывом», — оставалось более десяти лет. Поэтому Эйнштейн резонно полагал, что пространство должно быть статичным, и считал модели, описывающие расширяющуюся Вселенную, нефизическими.

Для исправления ситуации он пошел на довольно решительную меру и добавил дополнительное слагаемое к геометрической части своих уравнений, чтобы получить решения, заслуживающие, по его мнению, доверия. Это слагаемое называется космологической постоянной и обозначается греческой буквой лямбда — отсюда второе название этого слагаемого: лямбда-член. Оно уравновешивает гравитационную неустойчивость растягиванием геометрии пространства в противоположном (гравитационному притяжению) направлении. Эйнштейн не придавал космологической постоянной никакого физического смысла, но в то время считал ее важной для целостности своей теории.

Представьте, что в нашей аналогии с навесом в пустыне каркас, который мы построили, медленно погружается в песок. Вместо перестройки каркаса с нуля мы могли бы использовать какие-нибудь домкраты, размещенные по краям, и вытащить навес наверх. Мы бы не получили никаких архитектурных призов за наш проект, но он выполнил бы свою задачу. Точно так же лямбда-член хотя и не прибавляет изящества уравнениям, но выполняет требование сохранения космической стабильности.

В 1917 году Эйнштейн опубликовал свою модель статической Вселенной, в которой включил космологическую постоянную в полевые уравнения. Тем не менее он не мог утверждать, что его решение уникально. Голландский математик Биллем де Ситтер изящно продемонстрировал, что в отсутствие материи полевые уравнения Эйнштейна приводят к решениям, которые экспоненциально расходятся из-за наличия космологической постоянной. Модель де Ситтера показала, что до тех пор, пока существует космологическая постоянная, пустота будет неустойчивой. Так как Эйнштейн добавил космологическую постоянную в качестве временной заплатки, не основываясь на научных фактах, он не принял модель де Ситтера всерьез. Он признал, однако, что прогресс в понимании динамики Вселенной потребует гораздо более серьезных астрономических исследований. К счастью, Хаббл как раз ими занялся на большом телескопе на горе Маунт-Вилсон в Южной Калифорнии. В конечном итоге он обнаружил, что космос расширяется и не является статичным.