Искусство схемотехники. Том 2 (Изд.4-е)
Шрифт:
АВ = ВА
АА = А
А1 = А
А0 = 0
А(В + С) = АВ + АС
А + АВ = А
A + BC = (A + B)(A + С)
A + B + C = (A + B) + C = A + (B + С)
A + В =
А + А = А
А + 1 = 1
А + 0 = А
1' = 0
0' = 1
А + А' = 1
АА' = 0
(А')' = А
А + А'В = А + В
(А + В)' = А'В'
(АВ)' = А' + В'
Пример: вентиль Исключающее ИЛИ.
На следующем примере проиллюстрируем использование логических тождеств: попробуем построить схему Исключающее ИЛИ с помощью обычных вентилей. Таблица истинности для Исключающего ИЛИ представлена на рис. 8.24. Изучив ее и поняв, что 1 на выходе существует только тогда, когда (А, В) = (0, 1) или (1, 0), мы можем написать А
Рис. 8.24. Таблица истинности вентиля Исключающее ИЛИ.
Соответствующая схемная реализация представлена на рис. 8.25.
Рис. 8.25. Реализация вентиля Исключающее ИЛИ.
Однако эта реализация не является единственной. Используя логические тождества, мы находим, что
В = АА + АВ + ВА + ВВ (АА = ВВ = 0)
= А(А + В) + В(А + В)
= А(АВ) + В(ВА) = (А + В)(АВ)
(На
Рис. 8.26. Реализация вентиля Исключающее ИЛИ.
Существуют и другие способы построения схемы Исключающее ИЛИ. Рассмотрим следующие упражнения:
Упражнение 8.11. Покажите, что
с помощью логических преобразований. В справедливости этих соотношений легко убедиться, просмотрев таблицу истинности.
Упражнение 8.12. Чему равны следующие соотношения:
а) 0·1, б) 0 + 1, в) 1·1, г) 1 + 1, д) А(А + В), е) А(А' + В), ж) А, з) '.
8.13. Минимизация и карты Карно
Поскольку логическую функцию, даже такую простую, как Исключающее ИЛИ, можно реализовать различными способами, часто бывает нужно найти для нее самое простое решение, или, возможно, наиболее удобное схемное решение. Над этой проблемой бились многие светлые умы и в настоящее время существует несколько способов ее разрешения, включая алгебраические методы, реализуемые с помощью ЭВМ. При числе входов, не превышающем четырех, наилучшим методом является составление карты Карно. Этот метод позволяет также найти логическое выражение (если оно заранее неизвестно) по таблице истинности. Проиллюстрируем этот метод с помощью примера.
Предположим, что требуется построить схему для мажоритарного подсчета голосов при баллотировке. Будем считать, что имеются три входа, работающие в положительной логике (на любом из них может быть 1 или 0) и выход (0 или 1). Выход равен 1, если 1 присутствует не менее чем на двух входах.
Шаг 1. Составим таблицу истинности
Здесь должны быть представлены все возможные сочетания и соответствующие им состояния выхода (или выходов). В том случае, когда состояние входа не оказывает влияния на выход, ставится X (любое значение).