Истина и красота. Всемирная история симметрии.

Стюарт Иэн

Почему Эвклид приобрел такую известность? Ведь были математики и более великие, и более значительные. Но в течение без малого двух тысяч лет имя Эвклида было известному каждому, кто изучал математику по всей Западной Европе и (в несколько меньшей степени) в арабском мире. Он был автором одного из самых знаменитых математических текстов в истории — «Начал геометрии» (обычно сокращаемых просто до «Начал»). После изобретения книгопечатания эта работа оказалась среди самых первых книг, появившихся в печатном виде. Она была опубликована в более чем тысяче различных изданий и в этом уступает одной только Библии.

О Эвклиде нам известно чуть больше, чем о Гомере. Он родился в Александрии около 325 года до Р.Х. и умер около 265 года до Р.Х.

Сказав это, я с неудовольствием

чувствую, что мне тут же надо бы взять свои слова назад. Идея, согласно которой Эвклид действительно существовал и был единственным автором «Начал», — это только одна из трех теорий. Вторая состоит в том, что он существовал, но не писал «Начала» — по крайней мере не писал их сам. Он мог возглавлять группу математиков, создавших «Начала» коллективно. Суть третьей теории — более спорной, но все еще лежащей в рамках возможного — в том, что такая группа существовала, но сильно смахивала на группу математиков — по большей части французов и по большей части молодых, — писавших в середине двадцатого столетия под именем Николя Бурбаки. Так что «Эвклид» может оказаться коллективным псевдонимом. Тем не менее наиболее убедительная версия, похоже, состоит в том, что Эвклид все же существовал и что это был один человек, который сам и написал «Начала».

Это не означает, что Эвклид сам открыл все математическое содержание, которое вы найдете на страницах его книги. Он собрал воедино и упорядочил значительную часть древнегреческого математического знания. Он заимствовал у предшественников и сам оставил богатое наследие своим последователям, а кроме того, скрепил весь предмет печатью своего авторитета.

«Начала» обычно рассматривают как книгу по геометрии, но в ней также нашлось место теории чисел и некоторым зачаткам алгебры — однако все это изложено с геометрических позиций.

О жизни Эвклида мы знаем очень немного. Позднейшие комментаторы включили в свои работы обрывочные сведения о нем, ни одно из которых современные исследователи подтвердить не могут. Они сообщают, что Эвклид преподавал в Александрии, и отсюда обычно выводят, что в этом городе он и родился, но так ли это на самом деле, нам не известно. В 450 году, более чем через семь веков после смерти Эвклида, в пространном комментарии по поводу его математики философ Прокл писал:

Эвклид… собрал воедино Начала, наведя порядок во многих теоремах Эвдокса, доведя до совершенства многие из теорем Теэтета, а также довел до неоспоримых доказательств те вещи, которые были лишь нестрого доказаны его предшественниками. Этот муж жил во времена первого из Птолемеев; ибо Архимед, который жил недолгое время спустя после первого Птолемея, упоминает Эвклида, а кроме того, говорят, что Птолемей однажды спросил его, имеется ли более краткий путь к изучению геометрии, чем чтение «Начал», на что тот ответил, что царского пути к геометрии нет. Поэтому он моложе, чем окружение Платона, но старше, чем Эратосфен и Архимед; ибо последние были современниками, как в одном месте говорит об этом Эратосфен. В душе он был платоником, испытывал склонность к этой философии, а посему и заключил свои Начала построением так называемых Платоновых тел.

Внимательное изучение некоторых из тем в «Началах» не прямо, но убедительно свидетельствует, что Эвклид должен был в какой-то момент учиться в Платоновой Академии в Афинах. Только там, например, он мог узнать о геометрии Эвдокса и Теэтета. Что касается его характера, то все, что у нас есть, — это некоторые фрагменты из Паппа, который сообщает, что Эвклид был «мягок и любезен со всеми, кто мог хоть в малейшей степени способствовать развитию математики, внимательно следил, чтобы никого каким-либо образом не задеть, но при этом был настоящим ученым, не превозносящим самого себя». Дошло до нас и несколько анекдотов, один из которых передает Стробей. Один из учеников Эвклида спросил его, какова будет его выгода от изучения геометрии. Эвклид позвал раба со словами: «Дай этому человеку три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учебы».

Отношение греков к математике сильно отличалось от того, которое господствовало среди вавилонян и египтян.

В тех культурах математика рассматривалась в первую очередь в практическом плане — хотя «практическое» могло означать такую ориентацию тоннеля в пирамиде, чтобы душе – каумершего фараона легче было отправиться напрямую к Осирису. Для некоторых же из греческих математиков числа были не инструментами, время от времени привлекавшимися для подкрепления мистических верований, а самой сутью этих верований.

Аристотель и Платон сообщают о культе, центральной фигурой которого был Пифагор и который расцвел около 550 года до Р.Х. Согласно верованиям адептов этого культа, математика, в особенности числа, есть основа всего творения. Пифагорейцы развили мистические взгляды на гармонию вселенной, основанные отчасти на том открытии, что гармония нот на струнном инструменте связана с простыми математическими закономерностями. Если струна звучит на определенной ноте, то струна вполовину короче звучит на октаву выше, что дает наиболее гармоничный из всех интервалов. Они исследовали различные числовые закономерности, в частности «многоугольные» числа, возникающие, когда объекты выстраиваются так, чтобы образовать многоугольники. Например, «треугольные числа» 1, 3, 6 и 10 возникают из треугольников, а «квадратные числа» 1, 4, 9 и 16 — из квадратов.

Треугольные и квадратные числа.

Пифагореизм включал в себя не лишенную определенных странностей нумерологию — например, число 2 рассматривалось как мужское, а 3 как женское, — но тот взгляд, что глубинная структура природы имеет математический характер, и сегодня лежит в основе большей части теоретического знания. Хотя поздняя греческая геометрия была менее мистической, греки в целом воспринимали математику как самоцель — скорее как ветвь философии, нежели как инструмент.

Есть причины полагать, однако, что этим не все сказано. Твердо установлено, что Архимед, который мог бы быть учеником Эвклида, использовал свои математические способности для создания мощных машин и военных механизмов. Сохранилось очень немного замысловатых греческих устройств, изобретательный замысел и точность исполнения которых указывают на поддерживаемую в полной мере традицию высокого мастерства — античный вариант «прикладной математики». Самый, возможно, известный пример — это механизм, найденный на морском дне вблизи островка Антикитера: по-видимому, он представляет собой устройство для расчета движения небесных тел, выполненное в виде шестеренок, сложным образом сцепленных друг с другом.

Эвклидовы «Начала», без сомнения, укладываются в это утонченное представление о греческой математике — потому, возможно, что это представление в значительной мере и основано на «Началах». Основной акцент в книге делается на логику доказательства, при этом нет ни намека на возможность их практического применения. Но самое важное для нашего рассказа свойство «Начал» не в том, что там говорится, а в том, чего там нет.

Эвклид осуществил два великих нововведения. Первое — это концепция доказательства. Эвклид отказывается принимать какое бы то ни было математическое утверждение как истинное, пока оно не установлено с помощью последовательности логических шагов, которые позволяют вывести данное утверждение из того, что уже известно. Второе нововведение — это осознание того факта, что процесс доказательства должен иметь начало и что эти исходные утверждения доказать нельзя. Таким образом, Эвклид формулирует пять фундаментальных предположений, на которых основываются все его дальнейшие построения. Четыре из них просты и непосредственны: две точки можно соединить прямой линией; любой конечный отрезок прямой можно продолжить; можно провести окружность с любым центром и любым радиусом; все прямые углы равны между собой.