Истина в пределе. Анализ бесконечно малых

Дуран Антонио

^{Гравюра начала XIX века, на которой изображен отчий дом Ньютона в Вулсторпе близ Грэнтема в английском графстве Линкольншир.} 

В возрасте трех лет Ньютон пережил большую травму, одну из самых серьезных в его жизни: его мать, Анна Эйскоу, вышла замуж за священника Барнабу Смита, которому было 63 года, и прекратила отношения с сыном. Супруги поселились в доме Смита в нескольких километрах от дома Ньютонов, где маленький Исаак остался жить под опекой бабушки со стороны матери. Отделение от матери было болезненным и сильно повлияло на личность Ньютона: он стал с величайшим подозрением относиться ко всему, что можно было расценить как попытку лишить его чего бы то ни было. Это объясняет ожесточенные споры о первенстве, которые он вел с разными учеными, в особенности с Лейбницем, на протяжении всей жизни. Мэнюэль так описывает последствия разлуки с матерью: «Мать Ньютона занимает центральное место в его жизни. <…>

Они были вместе в течение важнейшего периода в его жизни, и его фиксация по отношению к ней была абсолютной. Травма, вызванная ее уходом, отрицание его любви породили в нем тоску, агрессивность и страх. После безграничного обладания, в которое не вмешивался никто, даже отец (как если бы речь шла о непорочном зачатии), мать отказалась от него и бросила. Некоторые психологи указывают, что волнения, вызванные разлукой с родителями, выражаются острее всего, если родители покидают ребенка в возрасте от 13 до 18 месяцев, другие указывают более ранний период в жизни ребенка. Так как Ньютону на момент второго брака матери было уже 36 месяцев, этот наиболее опасный период должен был завершиться. Однако близость нового материнского дома могла еще больше усилить боль от потери. Элегантная колокольня церкви Северного Уитхэма возвышалась над прочими постройками и виднелась на несколько миль вокруг. Анна жила там со священником Смитом — едва ли в полутора милях от дома, где жил ее сын. Ньютон так никогда и не оправился от травмы, которую нанесла ему потеря матери по вине другого мужчины. Поэтому всякий раз, когда кто-либо пытался отнять у него то, что он считал своим, его обуревала ярость и одновременно грусть, вызванная этой первой и столь тяжелой потерей. Он считал, что совершил все свои открытия и получил все титулы самостоятельно, и малейшая угроза потерять их вызывала в нем мучительное беспокойство».

Его мать вновь овдовела в 1653 году и вернулась в старый дом. Вместе с ней вернулись трое детей от второго брака, который продлился семь лет. Наследство отчима составило несколько сотен книг, преимущественно по богословию. Они, несомненно, пробудили интерес Ньютона к богословию, который сохранялся в течение всей жизни.

В одной из записных книжек Ньютона найдено его признание в грехах, совершенных до 1662 года, когда ему было 20 лет. Двадцать третий и двадцать четвертый пункт в перечне грехов звучат так: «…угрожал моему отцу и матери Смит, что сожгу их в доме»; «…желал смерти и ожидал этого». Весьма вероятно, что когда в 1715 году Ньютон писал, имея в виду Лейбница и его анализ бесконечно малых: «…у того, кто совершил открытие вторым, нет прав на него», призрак преподобного Смита, второго мужа его матери, наверняка стоял перед его глазами.

Ньютон был принят в школу Грэнтема в восьми километрах от дома, когда ему было 12, и провел там несколько лет. В Грэнтеме он жил в доме аптекаря, в приемную дочь которого он мог быть влюблен (она поняла это, когда ей было уже 82 года!). Если неловкие ухаживания юноши, не привыкшего общаться с девочками, можно назвать романом, то это был первый и последний роман в жизни Ньютона.

Юный Ньютон поступил в Кембридж в начале лета 1661 года, преодолев сопротивление матери с помощью ее брата, который учился именно там.

Ньютон жил и работал в Кембридже 35 лет. За это время он совершил все свои научные открытия, хотя, возможно, большую часть времени он посвящал другим занятиям: богословию, библейской истории и главным образом алхимии. Вне всяких сомнений, он был гением. Мало того, в течение всей жизни Ньютон отличался невероятной трудоспособностью, особенно ярко проявившейся в кембриджский период. Он работал практически беспрерывно, забывая о сне и еде, закрывшись в комнате, посвятив себя занятиям оптикой, физикой и математикой. Его вклад в эти научные дисциплины поистине огромен. Однако большую часть времени, судя по невероятному числу рукописей на эти темы, он бесстрашно пытался понять свои эксперименты в области алхимии, искал доказательства, которые укрепили бы его веру, непрестанно находился в поисках истины или, что более применимо в его случае, вел бесконечный диалог с Богом Отцом. Огромные усилия и работа без передышки — явное указание на это содержится в названии книги Вестфолла «Неугомонный» (Never at rest) — четко отражены в его рукописях: «Из его рукописей видно, что он совершал ошибки и учился на них, порой следовал неверным путем и не всегда сразу понимал противоречивость своих идей. Рукописи однозначно дают понять: его открытия не были результатом озарений или вспышек гениальности».

На службе науки. «Начала»

Попробуем продемонстрировать разницу между предполагаемыми озарениями, когда открытие совершалось в мгновение ока — именно таково упрощенное представление о труде гения, которым многие считают Ньютона, — и долгой и сложной работой. Работой, состоящей в том, чтобы увидеть первые ростки идеи, очистить ее, выделить суть, согласовать с другими идеями, объяснить ее, часто с помощью уже совершенных открытий и исследований. Именно так на самом деле работал Ньютон. Расскажем о том, как Ньютон совершил одно из своих крупнейших открытий — закон всемирного тяготения, и написал свою важнейшую работу — «Математические начала натуральной философии». И вновь напомним, что Ньютон всегда, а особенно в последние годы жизни, был скорее не гением-провидцем, а неутомимым тружеником. Об этом свидетельствует уже упомянутая история с яблоком или еще одно его высказывание о том, как он совершал свои открытия: «Я всегда держал задачу у себя на виду, пока из первых проблесков она не превращалась в яркий свет». В других случаях он был более реалистичен. Так, в письме, датированном 10 декабря 1692 года, он писал, что «Начала» были написаны только благодаря «трудолюбию и длительным размышлениям».

В начале 1680-х годов Гук объединился со знаменитым архитектором и преподавателем астрономии в Оксфорде Кристофером Реном, а также с юным астрономом Эдмундом Галлеем, чтобы найти ответ на вопрос, логичным образом возникший в теории центральных

сил Гука: по какой орбите будет двигаться планета, на которую действует центральная сила притяжения, обратно пропорциональная квадрату расстояния? Галлей лучше других понял, как найти решение: он обратился с вопросом к Ньютону.

Встреча состоялась в августе 1684 года. Содержание беседы нам известно по рассказу Ньютона Абрахаму де Муавру, английскому математику, который родился во Франции, но покинул родину из-за религиозных притеснений. Последний впоследствии так рассказывал о встрече: «Доктор Галлей спросил его, какая кривая может описывать движение планет, если предположить, что сила их притяжения к Солнцу обратно пропорциональна квадрату расстояния до него. Сэр Исаак немедленно ответил, что орбиты планет будут иметь форму эллипса. Доктор выказал величайшую радость и, удивленный, спросил его, откуда ему это известно. «Потому что я это вычислил», — ответил Ньютон, после чего доктор Галлей попросил его незамедлительно показать эти расчеты. Сэр Исаак не смог найти их среди своих бумаг и пообещал выполнить расчеты повторно и отправить доктору Галлею».

БЫЛ ЛИ ИЗВЕСТЕН ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ ДО НЬЮТОНА?

До того как на сцену вышел Ньютон, положение дел в изучении движения планет в Англии было следующим. Ведущим специалистом считался Роберт Гук, который позднее стал одним из величайших врагов Ньютона, Гук, взяв за основу принцип прямолинейной инерции, сформулированный Декартом, заменил центробежную силу и силу тяготения единственным принципом притяжения, который, по его мнению, и был причиной изменения исходной прямолинейной траектории. В 1670 году он изложил свои идеи на конференции, прошедшей в Лондонском королевском обществе, секретарем которого он являлся с 1677 по 1703 год. Его теория вкратце заключалась в следующем.

1. Все небесные тела обладают силой тяготения, или притяжения к центру, и притягивают все остальные небесные тела, которые находятся в радиусе действия этой силы.

2. Тела движутся по прямым линиям и только под действием силы меняют траекторию: окружность, эллипс или любую иную, более сложную.

3. Действие сил притяжения уменьшается по мере увеличения расстояния между телами по определенному закону.

Закон этот на тот момент был неизвестен. Несколько лет спустя, проведя аналогию между тяготением и светом, Гук установил, что сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Вернемся немного назад, к самому знаменательному периоду (anni mirabiles) в жизни Ньютона, который длился примерно двадцать месяцев, с 1665 по 1666 год. Этот период Ньютон провел в отчем доме в Вулсторпе, так как Кембриджский университет был закрыт из-за эпидемии чумы. Именно в это время Ньютон начал работу над теорией тяготения, и именно тогда произошла известная история с яблоком. В тот период Ньютон занимался решением задачи о движении планет в рамках теории вихрей Декарта — он изучил ее самостоятельно еще до поступления в Кембридж. Как и Гюйгенс, он использовал в качестве отправной точки закон прямолинейной инерции и считал, что изменение прямолинейной траектории обусловлено действием двух сил: силы тяготения и центробежной силы. Использовав наряду с этими гипотезами третий закон Кеплера, он обнаружил, что центробежные силы, действующие на планеты, изменяются обратно пропорционально квадрату их расстояния от Солнца. Несомненно, уже тогда он предполагал, что падение яблока на землю и вращение Луны вокруг Земли подчиняются одной и той же силе тяготения. Однако чтобы пройти путь от этой гипотезы до открытия закона всемирного тяготения, потребовался долгий и упорный труд. Изначально Ньютон пытался сравнить ускорение, вызванное центробежной силой, под действием которой движется Луна, с ускорением, вызванным силой тяготения у поверхности Земли. Его гипотеза была верной, но Ньютон отказался от нее, так как она не подтверждалась расчетами: он использовал неточное значение радиуса Земли. Кроме того, в то время он еще не знал, что следует измерять расстояние между центрами тел.

Ньютон вернулся к задаче о движении планет лишь 10 лет спустя. Возможно, на него повлияло письмо Гука, полученное в 1676 году, в котором тот просил высказать мнение о гипотезе, согласно которой движение планет является следствием закона прямолинейной инерции и вызвано силой притяжения, направленной к центру орбиты. Эта сила, которую Ньютон позднее назвал центростремительной, пришла на смену силе тяготения и центробежной силе. Гипотеза Гука заставила Ньютона вновь обратиться к задаче о движении планет и впоследствии стала причиной серьезной вражды между Гуком и Ньютоном. Гук обвинил последнего в плагиате, когда тот заканчивал работу над «Началами». Ньютон обнаружил следующее: из двух первых законов Кеплера следует, что силы притяжения обратно пропорциональны квадрату расстояния. Именно об этих расчетах он упомянул во время встречи с Галлеем.

^{Слева — британская марка, выпущенная по случаю 300-летней годовщины издания «Начал».}

^{На марке изображены планеты, движущиеся по эллипсам. Вверху — марка Никарагуа, на которой Солнечная система изображена внутри яблока рядом с формулой закона всемирного тяготения.}

Расскажем, как развивались события, последовавшие за этой знаменательной встречей. Ньютон пересмотрел и дополнил свои вычисления и в ноябре 1684 года отправил Галлею небольшую статью на девяти страницах под названием De motu corporum in gyrum. В ней он привел наброски доказательства того, что траектория движения планеты под действием силы притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния, является коническим сечением, а при скоростях, меньших определенного значения, траектория планеты принимает форму эллипса. В статье также содержался и обратный результат: как мы уже говорили, Ньютон получил его, взяв за основу гипотезу, изложенную в письме Гука.