Избранные научные труды
Шрифт:
J'=J+
S
w
,
'=+
S
,
w'=w-
S
J
,
'=-
S
,
(11)
где S — функция переменных J, w, и . Если положить
S=+
1
2
1…u
1…u
11+…+uu
x
x
sin 2
(
1
w
1
+…+
u
u
w
+
1…u
)
,
(12)
где
E'=
E(J
1
',…,J
u
')
+
0
(J
1
',…,J
u
')
,
(13)
где E — энергия невозмущённой системы. Стационарные состояния будут при этом определяться соотношениями (A), если только вместо переменных J1,…,Ju мы введём величины J1',…,Ju',
J
k
'
=
n
k
h
(k=1,…,u).
(14)
Из выражения (13) непосредственно следует, что изменение энергии стационарных состояний в присутствии внешних сил в первом приближении равно усредненному по движению невозмущённой системы значению потенциальной энергии относительно внешнего поля.
В случае, когда 0 кроме J' зависит также и от величин и , возмущения будут существенно иными, поскольку в этом случае появятся так называемые «секулярные» возмущения. Как видно из уравнений (9) и (10), значения и , кроме колебаний многократно периодического характера с периодами, равными периодам невозмущённого движения, и амплитудами, пропорциональными внешним силам, будут подвергаться также медленным изменениям, которые с течением времени приведут к заметным отличиям в движении системы. Если эти изменения носят однократно или многократно периодический характер, движение возмущённой системы также будет многократно периодическим, но с более высокой «кратностью» периодичности, чем невозмущённое движение. При этом за счёт секулярных возмущений к частоте u, соответствующей основной частоте колебаний невозмущенного движения, будут добавляться частоты, значения которых пропорциональны интенсивности внешних сил.
Простого точечного преобразования недостаточно для аналитической трактовки этой проблемы. Если мы снова произведем преобразование, определяемое соотношениями (11) и (12), то увидим, что из выражения для энергии исчезли величины w тогда как величины и остались. Для энергии возмущённой системы будет сохраняться та же форма
E'=
E(J
1
',…,J
u
')
+
+
0
(
J
1
', …, J
u
'
,
1
', …,
s-u
'
,
1
', …,
s-u
'
),
(15)
где
dk'
dt
=
–
0
k
;
dk'
dt
=
–
0
k
(k=1, …, s-u)
(16)
Эти уравнения, описывающие секулярные возмущения, имеют ту же каноническую форму, что и уравнения движения (1). Проблема, возникающая при определении стационарных состояний с помощью условий (A), сводится к проблеме, аналогичной определению стационарных состояний системы с s-u степенями свободы. В случае, когда решение уравнений (16) имеет однократно периодический или многократно периодический характер со степенью периодичности u'-u, можно будет ввести группу униформированных переменных
w'
u+1
, …, w'
u'
''
1
, …, ''
s-u'
I'
u+1
, …, I'
u'
''
1
, …, ''
s-u'
которые пригодны для описания заданных уравнениями (16) секулярных возмущений, так же, как переменные (4), пригодны для описания движения многократно периодической системы, представляемой каноническими уравнениями (1). Стационарные состояния будут теперь определяться с помощью u' условий типа (А), а именно: кроме u условий (14) также и u'-u добавочными условиями
J
l
'
=
n
l
h
(l=u+1, u+2, …, u')
.
(17)
Энергия стационарных состояний задаётся выражением
E'=
E(J
1
',…,J
u
')
+
0
(
J
1
', …, J
u
'
,
J'
u+1
, …, J'
u'
),
(18)
где второй член в правой части, как и в выражении (15), представляет собой среднее значение возмущающего потенциала, взятое по отношению к движению невозмущённой системы. Однако в этом случае потенциал подчиняется не только условиям (А) для стационарных состояний невозмущённой системы, но в предельном случае, когда внешние силы исчезают (=0), также и условиям, задаваемым соотношениями (17). Поскольку эти условия по своей природе целиком зависят от свойств периодичности секулярных возмущений, то для различных силовых полей они будут определять совершенно разные свойства орбиты. Если принять, что в присутствии внешних полей движение в стационарных состояниях может быть описано с помощью обычной механики, а стабильность стационарных состояний является необходимым условием, получим, что движение невозмущённой системы определяется условиями, число которых не превышает степени периодичности.