Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

v=

V

m

M+m

·2sin .

Следовательно, энергия, переданная электрону при столкновении, будет

Q

₀

=

2mM^2V^2

(m+M)^2

·sin^2.

(1)

Далее, легко найти, что смещение электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, к моменту наибольшего их сближения равно eE/mV^2 cos . Мы видим, что если расстояние p велико по сравнению с то угол будет очень мал, и скорость

электрона после столкновения будет почти перпендикулярна направлению движения частицы. Смещение электрона при столкновении в этом случае будет очень мало по сравнению с p.

Рассмотрим теперь силы, действующие на электроны со стороны атомов. Предположим пока, что собственные частоты электронов так малы, что для столкновений, при которых расстояние p по порядку величины равно , время столкновения очень мало по сравнению с периодом колебаний. Как мы увидим далее, для лёгких элементов это соотношение может выполняться. В этом случае мы должны учитывать действие рассматриваемых сил лишь при таких столкновениях, когда p велико по сравнению с . Это существенно упрощает расчёты, так как мы можем принять, что смещение при столкновении пренебрежимо мало по сравнению с p. В дальнейшем мы будем рассматривать отдельно движение электронов в направлениях, параллельном и перпендикулярном направлению движения частицы. Полная энергия, переданная электрону при столкновении, будет при этом равна сумме энергий, соответствующих этим двум движениям.

Рис. 1

На рис. 1 линия АВ изображает траекторию частицы, которая при рассматриваемых здесь столкновениях (т. е. при p, много большем ) очень близка к прямой линии, A — положение частицы в момент времени t, C — среднее положение электрона; BC перпендикулярно AB. В соответствии с введёнными обозначениями BC=p. Полагая, что частица находилась в точке B в момент t=0, имеем AB=Vt.

Для составляющей силы, действующей на электрон в направлении CB имеем

F

₁

=

eE

BC

AC^3

=

eEp

(V^2t^2+p^2)^3/2

=

m(t).

Уравнение движения электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, имеет вид

d^2x

dt^2

+

n^2x

=

(t),

где n — частота, возбуждаемая рассматриваемой силой.

Решение этого уравнения, удовлетворяющее следующим условиям:

x=0 и

dx

dt

=0 при t=-,

представляется в виде¹

x=

1

n

_t

⁰

sin n(t-z)

(z)

dz

,

dx

dt

=

_t

⁰

cos n(t-z)

(z)

dz

.

¹ См.: Rayleigh. «Theory of Sound», I, 75. Для последующего анализа см. также J. Н. Jeans. «Kinetic Theory of Gases», 198.

Здесь предполагается, что электрон до соударения с частицей

покоился. Если же предположить, что электроны в атоме до столкновения находились в движении, это приведёт к возникновению в формулах для x и dx/dt дополнительных членов, которые, однако, не войдут в выражение для среднего значения передаваемой энергии. (Заметим, что для справедливости приведённых расчётов необходимо, чтобы размеры орбит электронов были малы по сравнению с p; относительно выполнимости этого условия см. ниже, стр. 73.)

Для суммы кинетической энергии электрона в момент времени t и его потенциальной, энергии, связанной с его смещением относительно этого положения, мы имеем теперь

m

2

dx

dt

^2

+

mn^2

2

x^2

=

m

2

_t

⁰

cos nz·(z)dz

^2

+

m

2

_t

⁰

sin nz·(z)dz

^2

.

Для передаваемой электрону при соударении энергии, связанной с его движением, перпендикулярным направлению движения частицы, получаем, замечая, что в этом случае (z) — чётная функция аргумента,

Q

₁

=

m

2

^–

cos nz·(z)dz

^2

.

Подставляя сюда выражение для (z), имеем

Q

₁

=

e^2

2m

E^2p^2

^–

cos nz·dz

(V^2z^2+p^2)^3/2

^2

,

или

Q

₁

=

2e^2E^2

mV^2p^2

f^2

np

V

,

где функция

f(x)

=

1

2

^–

cos xz

(z^2+1)^3/2

dz

может быть представлена при всех значениях x в виде сходящегося ряда

f(x)

=

1-

1

1!2!

3

1·2

x

2

4

–

1

2!3!

3

1·2

+

5

2·3

<