Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр
Шрифт:
ДВЕ ВОЛНОВЫЕ ТЕОРИИ
В какой-то момент ньютонова физика уже не могла объяснить накопившиеся экспериментальные данные. Главные сложности возникли с двумя явлениями. Первым было излучение черного тела, которому никак не удавалось найти удовлетворительного объяснения. Второе касалось электрона, вращавшегося по орбите вокруг ядра: теоретически он должен был постепенно терять энергию и упасть на ядро, но этого не происходило. Помимо этого, по результатам некоторых экспериментов природа частиц оказывалась двойственной — они вели себя как волны и корпускулы одновременно. То же самое получалось и в некоторых экспериментах с фотонами. Например, при фотоэффекте они вели себя как частицы, а в эксперименте с двойной щелью проявляли волновую природу. Тогда появились
Все эти исследования проходили в Гёттингенском университете в 1925-1926 годах. Необходимо было как можно скорее найти математический инструмент, пригодный для использования в рамках обеих теорий. Как это часто происходило в истории науки, именно математический, сугубо абстрактный подход, не имевший ничего общего с конкретной физической реальностью, стал прекрасной основой для двух разных теорий. Их объединила теория функциональных полей Давида Гильберта. Однако это объединение в более широком смысле могло произойти только при наличии абстрактной системы аксиом, способной совместить оба подхода.
АКСИОМАТИЗАЦИЯ ФИЗИКИ
Можно ли аксиоматизировать физику? Этот вопрос стоит на шестом месте в знаменитом списке 23 задач Гильберта, представленном на Международном математическом конгрессе в Париже. В оригинальном тексте доклада ученый писал:
«...[изучение основ] физических наук, в том числе математики, имеет важное значение; в первую очередь речь идет о теории вероятностей и механике».
Аксиоматику теории вероятностей впервые установил советский математик Андрей Николаевич Колмогоров в 1933 году.
В области физики многие ученые, среди которых был и фон Нейман, достигли больших успехов, но они сомневались в возможности найти окончательное решение: результаты опытов были невероятно сложными и могли разрушить устойчивость системы аксиом. Таким образом, этот вопрос из списка 23 задач до сих пор остается открытым.
АКСИОМАТИКА ФОН НЕЙМАНА
Фон Нейман аксиоматизировал квантовую механику таким образом, что параметры, определяющие положение частицы, могли быть установлены при помощи пяти аксиом, сформулированных для гильбертова пространства. Математические формулировки были достаточно абстрактны, чтобы оставаться полностью отделенными от экспериментальной физики. Эти результаты были изложены в различных статьях в журнале Mathematische Annalen («Математические анналы») в 1929— 1930 годах.
Фон Нейман занимался еще одной проблемой, которая не давала покоя физикам и решение которой стало бы большим прогрессом в теории меры. В большинстве физических опытов всегда проводится некое измерение, и — каким бы точным ни был используемый инструмент — ошибка неизбежна. Поэтому важно знать, насколько велика эта ошибка, хотя бы приблизительно. В классической физике теория ошибок была достаточно развита и позволяла установить, насколько результаты эксперимента заслуживают доверия.
Но в рамках квантовой физики появилось новое понятие ошибки, для которого были неприменимы прежние теории.
ДАВИД ГИЛЬБЕРТ
Немецкий математик Давид Гильберт родился 23 января 1862 года в Кёнигсберге (сегодня Калининград, Россия), столице Восточной Пруссии. Его отца, государственного чиновника, направили в этот город на работу в качестве судьи. Обстановка, в которой рос Гильберт, была чрезвычайно благоприятной для интеллектуального развития мальчика, преимущественно благодаря его матери, невероятно образованной женщине, любившей философию, астрономию и математику. В 18 лет, окончив школу, Гильберт начал изучать математику в Кёнигсбергском университете. Среди его прекрасных учителей были такие ученые, как Генрих Вебер и Фердинанд фон Линдеман. В этот период Гильберт впервые занялся теорией инвариантов и познакомился с математиком Германом Минковским (1864-1909),
Несмотря на тяжелые физические и душевные испытания, ученый нашел силы для того, чтобы полностью посвятить себя изучению основ математики. К счастью, в 1927 году появился новый препарат от анемии, и Гильберт принимал его в числе первых пациентов, что, возможно, спасло ему жизнь.
Последние десять лет ученый провел в изоляции из-за политики нацистской Германии. Гильберт умер 14 февраля 1943 года в Гёттингене. На похороны пришли всего несколько человек. Среди них были его жена, к тому времени полуслепая, и физик Арнольд Зоммерфельд (1868-1951), которому с трудом удалось приехать из Мюнхена.
Портрет Давида Гильберта в последние годы жизни.
Точные измерения здесь получить невозможно, самое большее — можно надеяться на статистические результаты. Объект измерения (например, атом или электрон) в квантовой физике имеет микроскопический размер, и на него оказывает воздействие сам инструмент измерения.
Представим, что мы хотим с помощью линейки определить положение коробка спичек, лежащего на столе, по отношению к его краям, и каждый раз ненамеренно сдвигаем его. Нечто похожее происходит в квантовой физике. Система аксиом, созданная фон Нейманом, позволяла описать процесс наблюдения и наблюдаемый объект как логические элементы, которые можно рассмотреть в ее рамках. Ему в голову пришла блестящая идея: принять, что наблюдение происходит не в течение определенного промежутка времени, а в одно мгновение, то есть имеет вневременной характер. Эти результаты фон Нейман изложил в одной из своих самых известных книг — Mathematische Grundlangen der Quantenmechanik («Математические основы квантовой механики»), опубликованной в Берлине в 1932 году. В 1936 году он совместно с американским математиком Гарретом Биркгофом (1911-1996) дополнил работу подробным исследованием квантовой механики с точки зрения логики.
Фон Нейман понимал, что логика, описывающая явления квантовой физики, значительно отличается от той, к которой все привыкли. В логике высказываний существует конъюнкция, обозначаемая символом ^, она соответствует сочинительному союзу «и». Два высказывания A и В, соединенные конъюнкцией, записываются как А ^ В. Например, высказыванием А может быть «Луиджи 34 года», а В — «Луиджи брюнет», так что А ^ В читалось бы как «Луиджи 34 года, и он брюнет». Это утверждение будет верным, только если верны оба высказывания. Для конъюнкции соблюдается коммутативный закон, то есть порядок высказываний не влияет на их истинность или ложность. Сказать «Луиджи 34 года, и он брюнет» — то же самое, что «Луиджи брюнет, и ему 34 года». Но в квантовой физике все иначе.
Свет — это электромагнитная поперечная волна с двумя перпендикулярными плоскостями колебаний. Когда мы ставим поляризационный фильтр (такой, как в поляризационных очках) на пути луча света, то препятствуем прохождению одного из двух планов колебаний. Если же мы поставим два перпендикулярных поляризационных фильтра, свет не сможет пройти сквозь них.
Теперь возьмем третий фильтр, поляризованный по диагонали. Опытным путем было установлено, что если поставить его между двумя предыдущими, то свет сможет пройти. Разумеется, если мы поставим его после второго, свет не пройдет, так как ему помешают первые два. Назовем второй фильтр А, а третий — В и поставим за фильтрами экран. Условимся, что когда на экран падает свет, это означает «истина», когда экран остается темным — «ложь». В таком случае В^А было бы «истиной», так как при таком расположении фильтров экран загорается. Напротив, А л В было бы «ложь», так как свет не смог бы пройти. Таким образом, А ^ В /= В ^ А.