Количество.

Количество — объективная определенность качественно однородных явлений, или качество в его пространственно-временном аспекте, со стороны его бытия в пространстве и времени. Поскольку все явления в природе и человеческой истории существуют в пространстве и изменяются во времени, постольку они и могут рассматриваться как качественно тождественные, т. е. со стороны лишь количественных различий, а категория количества является универсальной, т. е. логической категорией, необходимой ступенькой познания действительности.

Универсально-логический характер категории количества доказывается всей историей познания и практики человека. Познание внешнего мира на стадии его количественного анализа связано с методами и языком математики. Количественная характеристика явлений необходима в процессе целенаправленного изменения природы человеком. Предмет, не отраженный в аспекте количества, не может считаться конкретно познанным. Однако ошибочно видеть только в чисто количественном описании явлений их полное, тем более исчерпывающее, познание. Односторонне-количественный взгляд на действительность есть такой, с точки зрения которого единственно объективными формами существования внешнего мира являются лишь пространственно-геометрические контуры тел и их изменения во времени, т. е. механическое перемещение частей материи, а все остальные чувственно воспринимаемые качества и свойства тел объявляются субъективными иллюзиями человека, его органов чувств. Поэтому односторонне-количественное понимание внешнего мира и выступает исторически как механистический материализм.

Идеалистический вариант односторонне-количественного

взгляда на мир и его познание всегда связан с идеалистическим же пониманием пространства и времени, с толкованием их как субъективно-психологических (Юм) или трансцендентальных (Кант) категорий. В своем крайнем выражении этот взгляд приводит к чисто формальному представлению о количестве как о чисто субъективном феномене.

Материализм, отстаивая предметный смысл категории количества, а также ее универсальный характер, всегда усматривал предметную основу количественно-математических характеристик в реальной пространственно-временной форме бытия материи. Количество всегда находится в диалектически противоречивой связи с качеством, выступающей, в частности, как закон перехода количественных изменений в качественные и обратно.

Первой попыткой специально проанализировать проблему количество можно считать исследования пифагорейцев. Непосредственным предметом их анализа явилось число как абстрактнейшая форма выражения количества, сложившаяся в стихийно-практическом сознании людей на основе их предметно-практической деятельности. Число сразу же обнаруживает свойства, кажущиеся таинственными. Натуральный ряд чисел содержит в себе ярко выраженные правильности, гармонически-периодические соотношения. Но ведь люди, создавшие числа и расположившие их в естественную (натуральную) последовательность, вовсе не заботились о том, чтобы вложить в нее эти правильные соотношения. Откуда же они там взялись? Религиозно-мистическая традиция подсовывала готовый ответ, объявляя загадочные свойства чисел и числовых рядов божественной природой числа. Пифагорейская мистика чисел и есть не что иное, как отсутствие объяснения, принятое за объяснение, или постановка действительной проблемы, выданная за ее решение. В наблюдениях пифагорейцев был зафиксирован также и тот загадочный факт, что «правила», обнаруженные в числовых рядах, затем открываются и в явлениях внешнего (чувственно созерцаемого) мира, например в соотношениях длин звучащих частей струн и т. п. Этот факт также был отнесен к числу божественных. Отсюда прямо вытекало и пифагорейское понимание задачи рационального познания. Оно сводилось к тому, чтобы обнаруживать в чувственно воспринимаемых явлениях те самые соотношения и закономерности, которые были до этого обнаружены в числах как таковых. Однако обожествление числа очень скоро привело пифагорейскую школу к ряду противоречий. Оказалось, например, что невозможно найти путем подбора такие целые числа, которые выражали бы сформулированное самим Пифагором правильное соотношение между квадратом гипотенузы и квадратами катетов, когда катеты равны (т. е. когда гипотенузой служит диагональ квадрата). Это «атеистическое» свойство квадрата настолько обескуражило священнослужителей пифагорейского союза, что его решили держать в строжайшей тайне. Ни к чему не привели и старания выразить через целое число соотношение радиуса и окружности. Пифагорейцы в итоге оказывались перед альтернативой — либо отказаться от священных основоположений, либо закрыть дорогу свободному математическому исследованию. Тайны и мистические обряды, которыми пифагорейцы окружили число, превратились очень скоро в тормоз развития античной математики.

Еще острее выявились трудности, связанные с числом, в исследованиях элейской школы. Здесь число было поставлено на очную ставку с чувственно воспринимаемым фактом движения тел, перемещения тела в пространстве. Между выражением этого факта через число как отчетливо выраженную дискретную величину и столь же отчетливо выраженной непрерывностью движения тела в пространстве и времени был зафиксирован неразрешимый конфликт, апория. У числа появился новый грозный враг — бесконечность. Оказывалось, что любая конечная величина (тела, пройденного им пути или отрезка времени, в течение которого этот путь проходится), будучи выражена через число, выглядит как бесконечная величина, как нечто неисчислимое. До исследований элейцев количество выступало в сознании только в виде числа, выражающего определенную величину, т. е. как нечто всецело дискретное, многое. Апории Зенона остро зафиксировали, что число и величина суть формы выражения чего-то иного, притом такие формы, которые бессильны выразить это иное. То, что выражается в числе как многое, как прерывное, на самом деле есть «одно», «единое», «непрерывное». Объективно только здесь и мог встать вопрос о том, что такое количество независимо от его выражения в числе, т. е. как особое понятие, отличное от понятий числа и величины. Рассуждения элейцев разрушали представление о божественной природе числа. По существу они доказывали, что число, связанное с представлением о дискретности бытия, есть лишь субъективно произвольная форма, извне налагаемая на бытие, которое на самом деле непрерывно и едино, и что поэтому число и числовые соотношения выражают не подлинное бытие, а лишь видимость, пестрое марево чувственно воспринимаемых фактов. Тем самым математика попадала, по классификации элейцев, в сферу «мнения». По этой причине элейская школа не могла противопоставить пифагорейской мистике чисел своего принципа математического мышления.

Единственно плодотворным для конкретного исследования количественного аспекта действительности принципом оказалась в этих условиях атомистика Левкиппа — Демокрита. Более того, сам атомистический принцип возник, по-видимому, именно как единственно возможный выход из трудностей, до предела обостренных столкновением пифагорейской и элейской школ. Представление об атоме как о мельчайшей, физически неделимой частице позволяло сохранить в составе представления о реальном мире оба взаимно исключающих друг друга момента количественного (пространственно-временного) аспекта действительности — и прерывность и непрерывность, и неделимость и делимость, и единое и многое, и бесконечное и конечное (т. е. величину). Атомистика позволяла истолковать число, выражающее форму и порядок тел в пространстве и времени, как чисто объективную характеристику материального мира, не зависящую от произвола людей или богов. Согласно учению Левкиппа — Демокрита, любое чувственно воспринимаемое тело состоит из очень большого (отнюдь не бесконечного) числа атомов, «неделимых». Поэтому величина есть функция от числа неделимых. Неделимое выступает, таким образом, как естественная единица, как реальное основание измерения и счета. Основные понятия математики (арифметики и геометрии) выстраивались, таким образом, в строгую систему, построенную к тому же на чисто материалистическом фундаменте. И прерывность и непрерывность, и делимость и неделимость, и единство и множество, и бесконечность и конечность определялись здесь как одинаково объективные свойства и характеристики «тела», ибо понятие тела формально объемлет как «атом», так и чувственно воспринимаемое тело. Реальностью количества тем самым оказывалась телесность, а не некоторые «бестелесные» сущности вроде единицы, точки, линии или поверхности. Эта установка атомистики отнюдь не была только философско-гносеологическим принципом. Она являлась также могучим эвристическим принципом развития собственно математических построений. Идея Демокрита позволяла перекинуть мост между бытием и его образами в чувственном созерцании, в частности между числами и геометрическими фигурами. Толкуя, например, окружность как многоугольник с очень большим числом сторон, равным числу «неделимых», Демокрит теоретически разрешил проблему числа «пи». При этом толковании бесконечность частичной дроби выступала как показатель того факта, что масштаб (мера) измерения взят неточно, приближенно, огрубленно. В том случае, когда единицей измерения оказывается «неделимое», число «пи» должно выразиться в целом конечном числе. Рассматривая атом как естественный объективно допустимый предел деления тел, как естественную единицу измерения, Демокрит ставил математику

на прочный фундамент физической реальности. Именно в атомистическом строении тел обнаруживалась та однородность и одноименность, которая вообще позволяет рассматривать тела любой формы и вида как математически соизмеримые, как различающиеся между собой только количественно. По существу только здесь было обосновано право математики рационально соотносить и сравнивать между собой линию с точкой, линию — с поверхностью, поверхность — с объемом, кривую — с прямой, число — с фигурой и т. д. Количество только здесь переставало быть просто собирательным названием для совершенно разнородных понятий и выступало как тот общий для всех математических понятий предмет, без которого они, строго рассуждая, должны рассыпаться.

Атомистика, направленная своим острием против спиритуалистических концепций внешнего мира, будто внешний (телесный) мир так или иначе состоит из бестелесных, непротяженных точек, из линий, лишенных толщины, и поверхностей, лишенных глубины, и оформляется бестелесными же числами, попадала в естественный конфликт с официальной греческой математикой [ср. Аристотель: «Постулируя неделимые тела, они (Демокрит и Левкипп) вынуждены впасть в противоречие с математикой»]. Греч. геометров смущало, что при допущении мельчайшей, даже мысленно неделимой частицы оказывается невозможным разделить точно пополам отрезок, состоящий из нечетного числа неделимых. Две половины такого отрезка никогда не могут быть «равными», «конгруэнтными», а будут только казаться таковыми в силу грубости наших чувств, слабой разрешающей силы глаза. Но тем самым «равенство», «конгруэнтность» и им подобные понятия, на которых геометрия основывала свои доказательства, оказывались, строго рассуждая, лишь приблизительными, лишь огрубленными образами. Отстоять свою «абсолютность» геометрия в этих условиях могла, только провозгласив суверенность геометрических образов и построений от внешнего мира, причем не только от чувственно воспринимаемого многообразия эмпирии, но и от бытия в философском смысле, от физической реальности в смысле Демокрита. Интересы геометрии в этом пункте прямо смыкались с интересами философских учений, враждебных атомистике, Официальная математика поэтому шла в общем и целом в фарватере идеалистических философских систем и получила от них ярлык точнейшей из наук и квалификацию своих аксиом как вечных и неизменных.

Школа Платона попыталась усвоить идеи атомистики, отвергая в то же время материализм, представление о телесно-физической природе неделимых. Вместо неделимого тела она приняла неделимую, минимальную поверхность и далее неделимый бестелесный контур — треугольник, который, подобно идеям, оформляет бесформенную материю. Тем самым прерывность, оформленность, ограниченность чувственно воспринимаемых тел приписывались действию бестелесных математических идей, а чистая геометрия получала полную независимость от материи, от физических (качественных) характеристик. Материя, представленная в этой концепции как нечто киселеобразное, как «апейрон», внутри себя абсолютно однородна и не может быть представлена как определенное количество, как величина, число или фигура. Это — чистая возможность количественных различений, полагаемых в нее извне, со стороны царства «идей»; опосредующим же звеном между идеями и материей выступают как раз «математические предметы», непосредственно воплощающиеся в виде чувственно воспринимаемых контуров, очертаний и фигур определенной величины и числа, короче говоря — в виде многообразных тел в пространстве. Тем же путем была лишена предметного смысла и «единица», основа счета и измерения. Числовые пропорции и отношения вновь, как у пифагорейцев, начинают представляться абсолютно самостоятельными сущностями, т. е. особого рода вещами, которые существуют несмотря на то, что у них нет тела.

Аристотель попытался впервые зафиксировать и рассмотреть количество как особую категорию, не совпадающую с числом, величиной, фигурой и другими специально математическими понятиями. «Количеством — называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых, будет ли их две или несколько, является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это — величина, если его можно измерить» [1] . «Между количествами одни раздельны, другие — непрерывны, и одни состоят из находящихся в них частей, имеющих определенное положение друг к другу, а другие из частей, не имеющих такого положения. Раздельными являются, например, число и речь, непрерывными — линия, поверхность, тело; а кроме того еще время и пространство» [2] . Уже формальная (словесная) дефиниция весьма характерна, она обнимает не только «разнородные», но и прямо взаимоисключающие, противоположные друг другу предметы рассмотрения; количество выступает как высший род, содержащий внутри себя противоположности, как единство этих противоположностей. Рассмотрение этих диалектических трудностей и попытки найти им решение осуществляются Аристотелем не в общей форме, а в его обычной манере двигаться «от частного к частному». Сила аристотелевского гения вообще обнаруживается не в дефинициях и итоговых выводах, а именно в способе рассмотрения трудностей, в поиске, в постоянных поворотах мысли, точки зрения, постановки вопроса и т. д. В качестве примеров непрерывных количеств фигурируют линия, поверхность, тело, «а кроме того еще время и пространство». Все эти примеры просто ставятся рядом, как равноценные. Но анализ показывает, что линия и поверхность ни в коем случае не суть самостоятельно существующие вещи, а только определенные характеристики тела. Кроме того, Аристотель категорически отвергает и самостоятельное существование пространства, т. е. представление о нем в виде пустоты, и толкует пространство также в качестве определенной характеристики того же «тела». Таким образом, все непрерывные количества по существу сводятся к одному образу — к образу пространственно определенного тела. Время тоже рассматривается им как «число движения», т. е. тоже как определение тела, поскольку то движется, перемещается в пространстве. Непрерывное количество тем самым толкуется уже не как у элейцев, т. е. не как неразличенная сплошность, в которой отсутствуют какие бы то ни было границы. Это непрерывное количество само внутри себя различено, разграничено, т. е. состоит из частей. Но части непрерывного количество соприкасаются друг с другом, т. е. имеют общую (одну на двоих) границу и между ними нет промежутка, заполненного инородным телом или инородной «сущностью». Раздельные же (прерывные) количества характеризуются тем, что их части не имеют общей границы. В качестве примеров раздельных количеств фигурируют число и речь, единицы и слоги. Иными словами, пока речь идет о реальной, вне человека сущей, действительности, Аристотель допускает в ней только непрерывные количества, т. е. такие количества, составные части которых всегда имеют общую границу. В итоге вопрос об отношении прерывных и непрерывных количеств у Аристотеля фактически сводится к вопросу об отношении числа и речи к реальному чувственно воспринимаемому миру или знаков к вещам, этими знаками обозначаемым. Число, как постоянно повторяет Аристотель в ходе своей полемики с пифагорейско-платоновским идеализмом, ни в коем случае нельзя рассматривать как особую вещь, имеющую отдельное, обособленное от чувственных (телесных) вещей существование [3] .

Комментируя рассуждения Аристотеля, Ленин особо выделяет эту мысль «Метафизики»: «Наивное выражение “трудностей” насчет “философии математики” (говоря по современному): книга 13, глава 2, § 23:

…“Далее, тело есть субстанция, ибо оно обладает известной законченностью. Но как могли бы быть субстанциями линии? Они не могли бы таковыми быть ни в смысле формы и образа, подобно, например, душе, ни в смысле материи, подобно телу: ибо очевидно, что ничто не может состоять из линий, или из плоскостей, или из точек…”.