Лестница Шильда
Шрифт:
a = k(y0z1 — z0y1, z0x1 – x0z1, x0y1 – y0x1)
и k — параметр кривизны. Это значит, что параллельный перенос по квадратной петле с ребром € в одной из координатных плоскостей поворачивает векторы вокруг остальных координатных осей на угол
loop = 2€2k.
Эффект
127
Отметим, что многообразие, соответствующее этой группе, по классификации Бергера является риччи-плоским кэлеровым многообразием типа Калаби-Яу. Иными словами, оно представляет вакуумное состояние, аналогичное решениям уравнений Эйнштейна для римановых многообразий с нулевой кривизной тензора Риччи и, следовательно, нулевой космологической константой . Вообще говоря, современные астрофизические эксперименты не подтверждают справедливость равенства = 0.
Апплет вычисляет эти матрицы по комбинаторной формуле, основанной на погружении j– спинового представления в 2j– мерное тензорное произведение более фундаментального представления (со спином 1/2).Каждому ребру приписывается амплитуда, зависящая от значения тв начале и конце ребра:
acdge(ms, mc) = [jmc|Uj(R)|jms]
Для любого вращения RUj (R) действует на дуальные векторы так, что
Uj*(R)|jm| = |jm|Uj (R)– 1
Спиновые состояния в узле со входящими в него ребрами обозначаются j1,j2, а спиновое состояние на исходящем ребре обозначается как j3. Их можно сравнить посредством линейной карты С между тензорным произведением гильбертовых пространств входящих частиц и исходящей частицы. Узловая амплитуда равна:
anode(m1, m2, m3) = [j3m3|C(|j1 m1] x |j2 m2])
Карта С нужна, чтобы эффекты произвольного вращения R коммутировали между собой:
C(Uj1(R)|j1 m1]xUj2(R)j2 m2]) = Uj3(R)C(j1 m1]x|j2 m2])
При
anode(m1, m2, m3) = (Uj3(R)[j3m3|)C(Uj1(R)|j1 m1]xUj2(R)j2 m2]) =
= [j3m3|Uj3– 1(R)Uj3(R)C(j1 m1]x|j2 m2]) = j3m3|C(|j1 m1 x |j2 m2])
Требуя, чтобы С удовлетворила предыдущему уравнению коммутации, легко рассчитать ее для общего спинового числа. А именно, координаты С представляют собой коэффициенты Клебша-Гордана, которыми даются амплитуды двухчастичного состояния для разных значений общего спина.
Теперь, перемножая все узловые амплитуды и все амплитуды на ребрах, а также суммируя произведения по всем значениям тв начальной и конечной точках ребра, а также учитывая требование равенства коэффициентов Клебша-Гордана нулю для всех случаев, кроме m-edgesm = mout-edge, можнопостроить полную спиновую сеть.
Первоначально я использовал менее очевидный способ. Вышеизложенная схема подсказана мне Дэном Кристенсеном (Dan Christensen), которому я очень благодарен.
На языке теории групп можно назвать карту С сплетением двух представлений группы U(2) — того, что отвечает входящим ребрам, и того, что соответствует исходящему ребру. В КТП вообще и квантовой гравитации в частности используются спиновые сети, ребра которых помечены неприводимыми представлениями любой группы G, узлы — сплетениями представлений, а спиновая сеть определяется следом тензора (большого и толстого:-D), образуемого перемножением сплетений и линейных карт представлений с учетом голономий, диктуемых геометрией (или фоновыми полями) для каждого ребра. Для дальнейшего ознакомления с предметом, помимо {1} и {2}, рекомендую работу Джона Баэза Spin Networks in Nonperturbative Quantum Gravity http: //www. arxiv. org/abs/gr-qc/9504036.
Хорошая подборка ссылок на статьи по спиновым сетям и теории спиновой пены собрана у Дэна Кристенсена на сайте http:// jdc. math. two. ca/spin-foams.
[Страничка эта последнее время не обновляется, но многие ссылки актуальны. Доступный начинающим обзор публикаций, вышедших после написания «Лестницы Шильда», можно почерпнуть в лекциях по квантовой гравитации, прочитанных Ли Смолиным в 2011 г. на Закопанской конференции: http: //arxiv.org/abs/1102.3660v5].
За десять лет, минувших после выхода в свет «Лестницы Шильда», в петлевой квантовой гравитации и геометрической физике наметился определенный прогресс в исследованиях пространств с множественными взаимодействующими вакуумными состояниями и влияния декогеренции на космологические процессы в крупномасштабной структуре Вселенной. Многие предсказания и гипотезы, сформулированные Иганом, в этих работах нашли превосходное подтверждение.
128
Раздел написан переводчиком.