Логика и аргументация: Учебное пособие для вузов.

Рузавин Георгий Иванович

(x -> y) (¬ <-> y -> ¬x)

• Закон противоречия: два противоречащих друг другу высказывания, т.е. высказывание х и его отрицание не-х, не могут быть вместе истинными:

(x ¬x)

Поскольку этот закон запрещает противоречия в рассуждении, то его часто называют также законом непротиворечия, и последнее более правильно.

• Закон исключения третьего: из двух противоречащих друг другу высказываний только одно является истинным. Тогда второе будет ложным и никакой третьей возможности не существует

x ¬x

Все эти законы можно непосредственно проверить с помощью таблиц истинности, но их желательно запомнить, чтобы каждый раз не обращаться к построению таблиц. Можно было

бы привести и другие законы, которые иногда применяются в рассуждениях, но они играют значительно меньшую роль. В принципе таких законов может быть бесчисленное множество. Все они должны содержать только переменные и логические постоянные и быть истинными в любой области (универсуме) рассуждения. При этом предполагается, что данная область непустая. В логике высказываний к постоянным относят логические коннекторы (связки), с помощью которых образуются сложные высказывания, а переменными являются простые высказывания.

Все перечисленные выше законы служат основой для правильных рассуждений, ибо опираясь на них, никогда нельзя получить ложного заключения из истинных посылок. Поэтому любое последовательное, непротиворечивое и правильное мышление всегда осуществляется в соответствии с законами логики, сознаем мы это или нет. В то же время среди перечисленных законов необходимо выделить самые основные, которые обычно называются законами логики. К ним относятся законы тождества, противоречия и исключенного третьего, о которых пойдет речь в гл.6.

Все законы исчисления высказываний, как в этом можно убедиться с помощью таблиц истинности, являются тождественно истинными (общезначимыми формулами). Какие бы истинностные значения не придавались входящим в них высказываниям, в конечном счете формула оказывается всегда истинной. Вот почему эти законы явно или неявно применяются в любом рассуждении, ибо именно с их помощью становится возможным преобразовать и упрощать имеющуюся информацию и приходить к определенным заключениям. Поясним это на примере закона контрапозиции. Если нам известно, что "треугольник х равнобедренный", то отсюда следует высказывание у, утверждающее, что "углы при его основании равны". Но если эти углы не равны, то по закону контрапозиции можно заключить, что "треугольник не является равнобедренным", т.е. (х -> у) -> (¬y -> ¬x). Таким образом, этот вывод мы получаем чисто логически, не прибегая, например, к доказательству методом от противного.

Отсюда непосредственно видно, что законы логики высказываний, во-первых, облегчают наши рассуждения, во-вторых, значительно упрощают их, в-третьих, делают их более точными и удобозримыми, ибо с символами и формулами обращаться легче, чем с менее определенными и неточными словесными формулировками.

Поскольку законы исчисления высказываний являются такими же общезначимыми по своему характеру, как и основные законы логики, то в принципе они ничем не отличаются от них. Если мы продолжаем отличать их от основных законов логики, то это скорее дань традиции, хотя для характеристики разных систем такое различие продолжает сохранять свое значение. Так, конструктивную логику мы отличаем от классической по отсутствию в ней закона исключенного третьего.

3.5. Логическое следование

Основная задача логики состоит в том, чтобы исследовать, какие следствия вытекают из данных утверждений, например, какие теоремы в математике следуют из принятой системы аксиом. Интуитивно мы можем выводить заключения, не обращаясь к логической символике и технике и даже ясно не сознавая те логические правила, которыми неявно пользуемся. Однако в более трудных случаях интуитивных возможностей оказывается недостаточно, в особенности когда приходится проверять рассуждения и анализировать ошибки. Даже в простейших случаях можно допустить ошибку, как

показывает следующий пример.

"Если не будет дождя (¬Д), то он придет на встречу (В)". Пошел дождь, значит он не придет на встречу (¬В). Переведем эту словесную формулировку на логический язык исчисления высказываний и тогда получим формулу:

((¬Д -> В) Д)) -> ¬В (1)

Чтобы проверить правильность заключения, построим для него таблицу истинности (табл. 8).

Хотя заключение словесного рассуждения кажется на первый взгляд верным, но оно логически не следует из посылок, в чем можно убедиться, если сравнить значение истинности посылок формулы (1) со значением истинности заключения. Если бы заключение логически следовало из посылок, тогда при одновременной истинности посылок (¬Д -> В) в первой строке табл. 8 и Д заключение ¬В в последнем столбце этой же строки должно быть истинным, а оно ложно. Но фундаментальный принцип логики постулирует, что из истинных посылок нельзя вывести ложного заключения. Это и показывает, что рассматриваемое заключение не следует из посылок. Ведь не исключается возможность, что несмотря на дождь, человек может прийти на встречу.

Отсюда становится ясным, что установить логическое следование одного высказывания или формулы из другого можно с помощью построения таблицы истинности всех входящих в формулы простых (элементарных) высказываний, которые называют атомарными (или просто атомами). В противоположность этому сложные (составные) высказывания, построенные с помощью логических связок, рассматривают как молекулярные. Если будет установлено, что при одновременной истинности посылок заключение окажется также истинным, то это дает основание сказать, что данная формула или высказывание логически следует из другой или других, т.е. заключение следует из посылок. В противном случае, как мы видели в предыдущем примере, заключение логически не следует из посылок.

Теперь дадим общее определение логическому следованию в исчислении высказываний. Обозначим через заглавные буквы латинского алфавита молекулярные высказывания А и В, состоящие из атомарных (элементарных) высказываний х₁ , х₂ , x₃ ,..., x_n. Тогда говорят, что "В следует из А или является следствием А", когда в таблицах истинности для А и В формула В имеет значение "истина" во всех тех строках, где А имеет значение "истина". Символически следование обозначается знаком " | =", например А | = В.

Если из А логически следует В, а из В следует А, т.е. А | = В и В | =А, то в этом случае высказывания А и В будут логически эквивалентными.

Обратимся теперь к другому случаю и определим, например, следует ли формула х у из формулы (х -> у) (x ¬ y). Для этого снова построим таблицу их истинности (табл. 9).

Однако в этой таблице ни в одной строке высказывания х -> у и х ¬у не являются одновременно истинными, а потому их конъюнкция будет ложной. Но импликация из ложного высказывания считается истинной. Можно сказать поэтому, что из рассматриваемой формулы следует не только дизъюнкция х v у, но и любая другая формула. Такой парадоксальный результат объяснить нетрудно. Дело в том, что формула (х -> у) (х ¬у) представляет собой логическое противоречие, в чем можно убедиться, если выразить ее вторую часть через импликацию, т.е. (х ¬у) ¬( <-> x -> y). Отсюда непосредственно видно, что второй член конъюнкции является отрицанием первого члена: (х -> у) ¬(х -> ¬у).