Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы
Шрифт:
Уверен, вы уже знаете десятичные эквиваленты для следующих дробей:
1/2 = 0,50;
1/3 = 0,333…;
2/3 = 0,666…
Подобно этому
1/4 = 0,25;
2/4 = 1/2 = 0,50;
3/3 = 0,75.
Дроби с пятерками в знаменателе запомнить легче всего.
1/5 = 0,20;
2/5 = 0,40;
3/5 = 0,60;
4/5 = 0,80.
Дроби с шестерками в знаменателе требуют запоминания только двух новых значений.
1/6 = 0,1666…;
2/6 =1/3 = 0,333…;
3/6 = 1/2 = 0,50;
4/6 = 2/3 = 0,666…;
5/6 = 0,8333…
Через
1/8 = 0,125;
2/8 = 1/4 = 0,25;
4/8 = 1/2 = 0,50;
6/8 = 3/4 = 0,75;
Дроби с девятками в знаменателе таят в себе особое волшебство.
где черта над цифрой обозначает бесконечное повторение этой цифры (говорят, что это дробь в периоде). Например, 4/9 = 0,444…
Дроби с десятками в знаменателе нам уже известны.
1/10 = 0,1; 2/10 = 0,2; 3/10 = 0,3;
4/10 = 0,4; 5/10 = 0,5; 6/10 = 0,6;
7/10 = 0,7; 8/10 = 0,8; 9/10 = 0,9.
Дроби со знаменателем 11 легко вычисляются, если вы запомните, что 1/11 = 0,0909.
Дроби со знаменателем 7 действительно выдающиеся. Как только вы запомните, что
Обратите внимание, что последовательность цифр в периоде циклически повторяется в каждой дроби, при этом изменяется лишь начальная цифра последовательности. Ее можно определить путем умножения 0,14 на числитель дроби.
Например, для дроби 2/7 имеем 2 х 0,14 = 0,28. Поэтому последовательность должна начинаться с 2. Для дроби 3/7 это 3 х 0,14 = 0,42, значит, последовательность начинается с 4.
Другие дроби подчиняются тому же правилу.
Конечно, в процессе решения разнообразных задач вы обязательно столкнетесь с дробями, превышающими 10/11. Поэтому постоянно обдумывайте способы упрощения таких задач. Например, можно упростить дробь 18/34 путем деления числителя и знаменателя на 2, чтобы сократить задачу до 9/17 (ее будет легче решить).
Если знаменатель дроби — четное число, можно упростить дробь, уменьшив ее вдвое, даже если числитель нечетный.
Например,
9/14 = 4,5/7
Деление числителя и знаменателя на 2 сведет проблему к дроби с семеркой в знаменателе. Хотя ранее показанная последовательность дробей не предоставляет десятичного варианта для дроби 4,5/7, как только вы начнете считать, заученное число неожиданно всплывет в памяти.
Как видите, вам не пришлось решать задачу целиком.
Стоит вам разделить 3 на 7, и вы точно произведете огромное впечатление на публику, отбарабанив этот длинный набор цифр почти мгновенно! [4]
Когда
Числа, которые заканчиваются на 25 или 75, надо сначала умножить на 4 и затем разделить на 100.
4
Вычисления происходят следующим образом: 4,5/7 = 4,2/7 + 0,3/7 = 0,6 + 0,1 х 3/7 = 0,6 + 0,1 х 0,428571 = 0,6 + 0,0428571 = 0,6428571. Прим. ред.
Этот трюк можно применять даже в середине расчетов.
Если вам нужно вычислить дробь 3/16, произойдет вот что:
Как только задача сведется к вычислению 14/16, можно привести ее к виду 7/8, что, как известно, равняется 0,875.
Отсюда 3/16 = 0,1875 [5] .
УПРАЖНЕНИЕ: ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ДЕСЯТИЧНОЙ ФОРМЕ
Чтобы решить следующие задачи, не забудьте использовать полученные знания о десятичном виде различных «одноцифровых» дробей. Везде, где это целесообразно, упрощайте дроби, прежде чем преобразовать их в десятичные.
1. 2/5 2. 4/7 3. 3/8 4. 9/12 5. 5/12 6. 6/11
7. 14/24 8. 13/27 9. 18/48 10. 10/14 11. 6/32 12. 19/45
5
Здесь вычисления вновь требуют пояснений: 3/16 = 0,1 х 30/16 = 0,1 х 15/8 = 0,1 х (1 + 7/8) = 0,1 + 0,1 х 7/8 = 0,1 + 0,1 х 0,875 = 0,1 + 0,0875 = 0,1875. Прим. ред.
В последнем разделе мы узнали, как упростить задачи на деление, если числитель и знаменатель поделить на общий множитель. В завершение этой главы обсудим, как определить, является ли одно число делителем другого. Это поможет упростить задачу на деление и ускорить процесс решения многих задач на умножение, а также пригодится, когда мы доберемся до продвинутого умножения, где часто придется искать способы разложить на множители двух-, трех- или даже пятизначные числа. Умение делать это окажется весьма полезным.
Проверить, делится ли число на 2, довольно просто. Вам нужно только определить, является ли последняя цифра четной. Если это 2, 4, 6, 8 или 0, то число целиком делится на 2.
Чтобы протестировать число на делимость на 4, проверьте, делятся ли на 4 две его последние цифры. Число 57 852 кратно 4, потому что 52 = 13 х 4. Число 69 346 не кратно 4, поскольку 46 не делится на 4 без остатка. Это правило работает потому, что 4 делит 100 и, следовательно, любое число, кратное 100.
Таким образом, поскольку 57 800 и 52 делятся на 4, то 4 поделит и их сумму, то есть 57 852.