Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
Шрифт:
менной, xrange — область изменения для второй зависимой переменной; eqns — опция, записываемая в виде keyword=value. Замена имен переменных другими в данном случае недопустима.
Эта функция обеспечивает численное решение дифференциальных уравнений или их систем при одной независимой переменной t и строит графики решения. Для автономных систем эти графики строятся в виде векторного поля направлений, а для неавтономных систем — только в виде кривых решения. По умолчанию реализуется метод Рунге-Кутта 4-го порядка, что соответствует опции method=classical[rk4],
С функцией DEplot могут использоваться следующие параметры:
• arrows=type —
• colour, color = arfowcolour — цвет стрелок (задается 7 способами);
• dirgrid = [integer,integer] — число линий сетки (по умолчанию [20, 20]);
• iterations = integer — количество итераций, представленное целым числом;
• linecolor, linecolor = line_info — цвет линии (задается 5 способами);
• method='rk4' — задает метод решения ('euler', 'backeuler', 'impeuler' или 'rk4');
• obsrange = TRUE,FALSE — задает (при TRUE) прерывание вычислений, если кривая решения выходит из области обзора;
• scene = [name,name] — задает имена зависимых переменных, для которых строится график;
• stepsize=h — шаг решения, по умолчанию равный abs((b-a))/20, и представленный вещественным значением.
7.5.3. Решение системы дифференциальных уравнений модели Лотки-Вольтера
Еще одна из моделей динамики популяций, известна как модель Лотки-Вольтера, описывает изменение популяции в биологической среде хищник-жертва. Эта модель позволяет описать периодическое колебательное изменение числа жертв и поедающих их хищников. На рис. 7.14 показано решение системы дифференциальных уравнений Лотки-Вольтера:
Рис. 7.14. Решение системы дифференциальных уравнений модели Лотки-Вольтерра с выводом в виде графика векторного поля
Решение представлено в виде векторного поля, стрелки которого являются касательными к кривым решения (сами эти кривые не строятся). Обратите внимание на функциональную закраску стрелок векторного поля, делающую решение особенно наглядным (правда, лишь на экране цветного дисплея, а не на страницах книги).
Еще интересней вариант графиков, представленный на рис. 7.15. Здесь помимо векторного поля несколько иного стиля построены фазовые портреты решения с использованием функциональной закраски их линий. Фазовые портреты построены для двух наборов начальных условий: x(0)=y(0)=1,2 и y(0)=1 и y(0)=0,9.
Рис. 7.15. Пример построения двух фазовых портретов на фоне векторного поля
Читатель может легко дополнить этот пример выводом графиков временных зависимостей числа хищников и жертв и убедиться в том, что они действительно носят колебательный характер. При этом отличие фазовых портретов от эллиптической формы говорит о том, что форма колебаний заметно отличается от
Следует отметить, что функция DEplot может обращаться к другим функциям пакета SEtools для обеспечения специальных графических возможностей, таких как построение векторного поля или фазового портрета решения. В файле deplot.mws можно найти множество дополнительных примеров на применение функции Deplot.
7.5.4. Функция DEplot3d из пакета DEtools
В ряде случаев решение систем дифференциальных уравнений удобно представлять в виде пространственных кривых — например, линий равного уровня, или просто в виде кривых в пространстве. Для этого служит функция DEplot3d:
Назначение параметров этой функции аналогично указанному для функции DEplot.
Рис. 7.16 поясняет применение функции DEPlot3d для решения системы из двух дифференциальных уравнений с выводом фазового портрета колебаний в виде параметрически заданной зависимости x(t), y(t). В данном случае фазовый портрет строится на плоскости по типу построения графиков линий равной высоты (контурных графиков).
Рис. 7.16. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений с помощью функции DEplot3d
Другой пример (рис. 7.17) показывает решение системы из двух дифференциальных уравнений с построением объемного фазового портрета. В этом случае используется трехмерная координатная система и графические построения соответствуют параметрическим зависимостям x(t), y(t) и z(t). Вид фазового портрета напоминает разворачивающуюся в пространстве объемную спираль. Функциональная окраска делает график пикантным, что, увы, теряется при черно-белом воспроизведении графика.
Рис. 7.17. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений с построением трехмерного фазового портрета
Возможности функции DEplot3d позволяют решать системы, состоящие более чем из двух дифференциальных уравнений. Однако в этом случае число решений, представляемых графически, выходит за пределы возможного для трехмерной графики. При этом от пользователя зависит, какие из зависимостей опускаются при построении, а какие строятся. В файле deplot3d.mws есть ряд дополнительных примеров на применение функции Deplot3d.
7.5.5. Графическая функция dfieldplot
Графическая функция dfieldplot служит для построения поля направления с помощью векторов по результатам решения дифференциальных уравнений. Фактически эта функция как бы входит в функцию DEplot и при необходимости вызывается последней. Но она может использоваться и самостоятельно, что демонстрирует рис. 7.18, на котором показан пример решения следующей системы дифференциальных уравнений: x'(t)=x(t)(1-у(t)), у'(t)=0,3у(t)(х(t)-1).