Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
Шрифт:
Рис. 4.5. Зависимость значения интеграла с подынтегральной функцией 1/(х+а)^2 и пределами от 0 до 2 от параметра а
Приведем еще один пример «каверзного» интеграла довольно простого вида:
Этот интеграл не берется вообще, так что Maple совершенно справедливо об этом и сообщает. Но введение параметра CauchyPrincipalValue позволяет получить численное значение интеграла:
Возьмем
Однако распространение этого правила на бесконечные пределы интегрирования является грубейшей ошибкой. Интеграл такого рода уже не сходится и Maple дает соответствующий результат:
Во многих областях техники часто употребляются математически неточные выражения «затухающая синусоида» или «нарастающая синусоида». Возьмем, к примеру, широко распространенную функцию: у(t)=exp(-t)sin(2π). Построим ее график и вычислим определенный интеграл от этой функции с пределами от 0 до ∞ (рис. 4.6).
Рис. 4.6. График «затухающей синусоиды» и интеграл от нее с пределами от 0 до ∞
С первого взгляда на график видно, что каждая положительная полуволна функции (затухающей «синусоиды») явно больше последующей отрицательной полуволны. К тому же осцилляции функции быстро затухают и через десяток-другой периодов значение функции становится исчезающе малым. Вот почему Maple уверенно вычисляет интеграл с такой подынтегральной функцией. Ее свойство — неопределенность при t→∞ просто исчезает.
А теперь возьмем антипод этой функции — «синусоиду с экспоненциально нарастающей до стационарного значения 1 амплитудой». Такая функция записывается следующим образом:
Ее график и попытки вычисления интеграла с такой подынтегральной функцией приведены на рис. 4.7.
Рис. 4.7. График «экспоненциально нарастающей синусоиды» и интеграл от нее с пределами от 0 до ∞
Обратите внимание на то, что здесь прямое вычисление интеграла к успеху не привело, хотя из графика функции видно, что каждая положительная полуволна в близкой к t=0 области явно больше по амплитуде, чем последующая отрицательная полуволна. Однако, в отличие от предыдущей функции, при больших значениях аргумента данная функция вырождается в обычную синусоиду с неизменной (и равной 1) амплитудой. Вот почему Maple честно отказывается вычислять не сходящийся интеграл от такой «коварной» функции.
4.4.6. Вычисление несобственных интегралов первого рода
Несобственными интегралами называют интегралы, у которых хотя бы один из пределов или подынтегральная функция устремляются в бесконечность. Соответственно различают несобственные интегралы первого и второго родов. Вычисления таких интегралов требует повышенного внимания и порой использования специальных методов. Из-за этого в старых реализациях Maple нередко такие интегралы просто не вычислялись, хотя на самом деле их решения (порою в виде специальных функций) существовали.
Последние версии Maple существенно продвинулись в направлении решения многих несобственных интегралов. Это видно из благополучного решения ряда таких несобственных интегралов первого рода, о которых спотыкались старые версии Maple и которые требуют
Для подавляющего большинства интегралов результат вычислений с применением функций Int и int оказывается абсолютно идентичным. Однако есть и исключения из этого правила. Например, следующий интеграл благополучно очень быстро вычисляется функцией Int с последующей evalf: