Математические головоломки и развлечения

Гарднер Мартин

Так как его площадь составляет 1/4 площади всего треугольника, то искомая вероятность равна 1/4.

Утверждению о том, что «палку случайным образом ломают на три части», можно придать иной смысл. Например, его можно толковать так: палку наугад переламывают на две части, затем также наугад выбирают один из обломков и переламывают его еще раз (снова в случайно выбранной точке). С какой вероятностью в этом случае из обломков можно составить треугольник?

Решение задачи дает тот же чертеж, что и в предыдущем случае. Если, переломив палку в первый раз, мы выберем более короткий обломок, то построить треугольник будет невозможно. Что же произойдет, если выбрать обломок подлиннее? Пусть вертикальный перпендикуляр на чертеже соответствует короткому обломку.

Для того чтобы вертикальный

перпендикуляр был меньше суммы двух других перпендикуляров, точка, из которой они опущены, не должна лежать внутри самого верхнего из малых треугольников, на которые отрезками прямых, соединяющих середины его сторон, поделен большой треугольник. Точки, у которых вертикальный перпендикуляр меньше суммы двух других перпендикуляров, равномерно заполняют три малых треугольника в нижней части большого треугольника. Благоприятному исходу по-прежнему соответствуют лишь те точки, которые попадают внутрь заштрихованного треугольника, но на этот раз его площадь составляет лишь 1/3 площади, отвечающей всем возможным исходам. Следовательно, выбрав из двух обломков больший, мы сможем построить треугольник (разломав выбранный нами обломок еще раз на две части) лишь в 1/3 случаев. Так как вероятность выбрать больший обломок равна 1/2, ответ на вопрос задачи в этом случае равен произведению 1/2 на 1/3, то есть 1/6.

Геометрическими построениями в задачах такого рода следует пользоваться осторожно, потому что они также способны вводить в заблуждение своей неоднозначностью. В качестве примера приведем одну задачу, рассмотренную в курсе теории вероятностей знаменитого французского математика XIX века Бертрана: какова вероятность того, что проведенная наудачу хорда будет длиннее стороны равностороннего треугольника, вписанного в ту же окружность?

Ответить на этот вопрос можно, например, так. Хорда должна начинаться в некоторой точке окружности. Обозначим эту точку через А и проведем к окружности касательную в точке А (рис. 177,a).

Рис. 177 Вероятность того, что наудачу проведенная хорда длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника, оказывается 1/3 (a), 1/2 (б) и 1/4 (в).

Другим концом хорды может быть любая точка окружности, поэтому мы получаем бесконечно много равновероятных хорд (некоторые из них на чертеже показаны пунктиром). Ясно, что длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника могут быть лишь те хорды, которые попадают внутрь угла при вершине треугольника в точке А. Поскольку этот угол равен 60°, а хорды заполняют развернутый угол (180°), вероятность того, что случайно проведенная хорда будет длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника, равна 60/180, или 1/3.

Возможен и несколько иной подход к решению задачи Бертрана.

Какую бы хорду мы ни провели, она всегда будет перпендикулярна одному из диаметров окружности. Будем считать, что проведенная нами хорда перпендикулярна вертикальному диаметру, и впишем в окружность равносторонний треугольник с вершиной, совпадающей с верхним концом вертикального диаметра (рис. 177, б). Точки пересечения хорд, перпендикулярных данному диаметру, с ним самим равномерно распределены по всему диаметру. Некоторые из этих хорд проведены на чертеже пунктирными линиями. Нетрудно показать, что расстояние от центра окружности до точки А равно половине радиуса. Обозначим через В точку того же диаметра, лежащую на расстоянии половины радиуса по другую сторону от центра. Легко видеть, что длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника будут лишь те хорды, которые пересекают проведенный диаметр между точками А и В. Так как отрезок АВ составляет половину диаметра, ответ задачи 1/2.

Возможен

и третий подход к ее решению. Любую точку круга можно рассматривать как середину некоторой хорды. Из рис. 177, в видно, что длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника могут быть лишь те хорды, середины которых лежат внутри маленького заштрихованного круга. Площадь заштрихованного круга составляет ровно 1/4 площади всего круга. Отсюда следует, что и ответ задачи в данном случае оказывается равным 1/4.

Естественно возникает вопрос: какой же из трех ответов правилен? Каждый ответ верен по-своему, каждый отвечает определенному способу проведения «случайных» хорд. Экспериментально соответствующие построения можно осуществить, например, с помощью следующих трех «методов»:

1. Взять два веретена и, закрутив каждое из них в любую сторону независимо от другого, по очереди поставить их в центр круга.

Отметить конечные точки траекторий, описанных остриями веретен, и соединить отмеченные точки прямой. С вероятностью 1/3 отрезок этой прямой, заключенной внутри круга, будет больше стороны вписанного равностороннего треугольника.

2. Нарисовать мелом на асфальте большой круг и с расстояния около 5 метров вкатывать в него палку от метлы. Оставшись где-то внутри круга, палка наметит направление некоторой хорды. С вероятностью 1/2 эта хорда длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника.

3. Намазать круг медом и подождать, пока на него не сядет муха. Провести хорду, середина которой совпадает с точкой, где сидит муха. С вероятностью 1/4 эта хорда будет длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника.

Каждый из предложенных способов построения «случайных хорд» вполне законен, поэтому наша задача в ее первоначальной формулировке допускает различные толкования. Однозначное решение становится возможным лишь после того, как мы уточним, в каком именно смысле следует понимать выражение «провести случайным образом хорду», дав точное описание метода ее построения. Разумеется, большинство людей, если попросить их провести наугад хорду в окружности, изберут для этого способ, не имеющий ничего общего ни с одним из трех перечисленных выше способов.

С вероятностью, много большей чем 1/2, человек проводит хорду, превышающую по длине сторону вписанного равностороннего треугольника.

Другим примером неоднозначности, возникающей из-за того, что в условии задачи ничего не говорится о способе получения интересующих нас сведений, может служить задача 2 из главы 29.

Читателю сообщается, что у мистера Смита двое детей, из которых по крайней мере один мальчик. Требуется вычислить вероятность того, что у мистера Смита два сына. Многие читатели правильно заметили, что ответ зависит от того, каким образом мы узнаем, что «по крайней мере один из детей мальчик». Если из всех семей, имеющих по два ребенка, из которых по крайней мере один мальчик, выбирать случайным образом какую-нибудь одну семью, то ответ равен 1/3. Однако, оставаясь в рамках того же условия, можно действовать иначе. Из общего числа семей, имеющих по два ребенка, выберем наугад какую-нибудь одну семью. Если оба ребенка мальчики, то мы сообщим тому, кто решает задачу, что «по крайней мере один из детей мальчик». Если в выбранной нами семье две девочки, мы скажем, что «по крайней мере один ребенок девочка».

Если же в семье один мальчик и одна девочка, то, выбрав кого-нибудь из них наугад, мы с полным основанием сможем заявить, что «по крайней мере один ребенок в этой семье мальчик (или девочка)» в зависимости от того, кто из ребят был выбран. При таком способе получения необходимых для решения данных вероятность того, что в семье имеются два мальчика или две девочки, очевидно, равна 1/2. (Действительно, утверждения делаются в каждом из четырех случаев: ММ, МД, ДМ, ДД; М здесь означает мальчик, Д — девочка, а «однотипные» пары ММ и ДД составляют ровно половину общего числа случаев.) О том, что даже выдающиеся математики иногда упускают из виду возможность неоднозначного толкования условий этой задачи, свидетельствует хотя бы тот факт, что она (в формулировке, не достаточной для получения совершенно определенного ответа) включена в один из лучших учебников высшей математики, изданных для колледжей.