Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
— Ты совсем закрутил мне голову, — признался я. — А какую бы карту нужно было отбросить, если бы я поставил стакан на семерку пик?
— Должен признаться, — ответил Виктор, — что в этом фокусе есть немного жульничества, не имеющего отношения к математике.
Расположение карт в виде магического квадрата не имеет никакого отношения к делу. Существенно лишь, где лежат карты: карты, лежащие на нечетных местах — в углах и в центре, — образуют одно множество, карты, лежащие на четных местах, образуют множество противоположной четности. Увидев, что ты поставил стакан на карту из нечетного множества, я дал тебе те инструкции, которые ты видел. Если бы ты поставил стакан на карту из четного множества, то
Он перевернул библиотечную карточку. На ее обратной стороне оказался второй перечень инструкций:
1. Отбрось шестерку.
2. Сделай четыре хода и отбрось двойку.
3. Сделай семь ходов и отбрось туза.
4. Сделай три хода и отбрось четверку.
5. Сделай один ход и отбрось семерку.
6. Сделай два хода и отбрось девятку.
7. Сделай пять ходов и отбрось восьмерку.
8. Сделай три хода и отбрось тройку.
— И ты считаешь, что эти два свода инструкций — один для случая, когда я ставлю стакан на четное место, другой — на нечетное, — всегда приведут к пятерке пик?
Виктор кивнул.
— Почему бы тебе не напечатать обе стороны карточки с инструкциями в журнале? Пусть читатели поломают голову над тем, как получается этот фокус.
Наполнив еще раз стаканы, Виктор сказал:
— Принцип четности используется во многих математических фокусах. Сейчас я покажу тебе один из них. У тебя создастся впечатление, что я обладаю даром ясновидения.
Он протянул мне карандаш и чистый лист бумаги.
— Сейчас я повернусь к тебе спиной, а ты нарисуешь самую затейливую замкнутую кривую с любым числом самопересечений (постарайся, чтобы их было побольше). Следи только за тем, чтобы ни в одной точке кривая не пересекала себя больше одного раза.
Он повернулся лицом к стене и оставался сидеть так, пока я рисовал кривую (рис. 217).
Рис. 217 Произвольно начерченная замкнутая кривая со случайным образом обозначенными точками самопересечения для фокуса с «ясновидением».
— Каждую точку самопересечения обозначь какой-нибудь буквой. Буквы не должны повторяться, — сказал он через плечо.
Я сделал все, как надо.
— Теперь поставь карандаш в любую точку кривой и начни обводить ее. Каждый раз, дойдя до точки самопересечения, называй вслух стоящую около нее букву. Делай так до тех пор, пока не обведешь всю кривую, но в одном месте — где именно, неважно — две соседние буквы поменяй местами. Под соседними я понимаю буквы, которые расположены рядом друг с другом в направлении обхода кривой. Когда будешь переставлять буквы, мне ничего не говори.
Я начал с точки N, дошел до Р и продолжил свой путь, называя одну за другой встречавшиеся мне буквы. Я видел, что Виктор записывает их в блокнот. Дойдя во второй раз до буквы В и увидев, что дальше стоит F, я мысленно переставил их и назвал сначала F, а потом В. При этом я называл буквы без промедления, в том же темпе, что и раньше, чтобы Виктор не мог догадаться, в каком именно месте я совершил перестановку.
Едва я успел закончить, как он сказал:
— Ты переставил В и F.
— Здорово! — ответил я. — Но как ты узнал?
Виктор засмеялся и повернулся ко мне.
— Этот
Он перебросил мне блокнот, в котором записывал буквы. Буквы попеременно располагались то над горизонтальной прямой, то под ней:
66
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления: 4-е изд. — М.: Наука, 1966.
Если не переставлять буквы, то каждая из них должна встретиться один раз вверху, над прямой, и один раз внизу. Все, что мне нужно сделать, — это найти те буквы, которые повторяются дважды вверху и внизу. Именно их и переставили.
— Красивый фокус, — согласился я.
Виктор открыл пачку крекеров и, вытащив две штуки, положил их справа и слева от себя. На обоих крекерах он нарисовал стрелки, указывающие на север (рис. 218). Зажав левый крекер между большим и средним пальцами левой руки так, как показано на рис. 218, он кончиком указательного пальца правой руки надавил на угол А и повернул крекер вокруг диагонали, соединяющей зажатые углы.
Рис. 218 Как держать крекеры в фокусе со стрелками, изменяющими направление.
На обратной стороне Виктор нарисовал еще одну стрелку, также указывающую на север.
Затем он взял в правую руку другой крекер и, повернув его нажатием указательного пальца на угол В, нарисовал на обратной стороне стрелку, указывающую на юг.
— Теперь у нас все готово, — сказал он улыбаясь, — для забавного фокуса, использующего свойства симметрии квадрата относительно вращений. Обрати внимание, что на обеих сторонах левого крекера я нарисовал стрелки, указывающие на север.
Он взял крекер в левую руку и повернул его несколько раз, чтобы продемонстрировать, что обе стрелки смотрят на север.
— На правом же крекере одна стрелка указывает на юг, а другая — на север. — Взяв крекер в правую руку и быстро завертев его, он показал, что стрелки действительно направлены в противоположные стороны.
Положив оба крекера на стол, Виктор осторожно, не изменив ориентации стрелок, поменял крекеры местами.
— Покрути их, пожалуйста, — попросил он. — Я хочу, чтобы ты убедился, что на правом крекере обе стрелки указывают на юг, а на левом — одна на юг, а другая на север.
Виктор передал мне оба крекера, и, повертев их точно таким же образом, как это делал он сам, я убедился, что крекеры действительно поменялись местами.
Виктор положил крекеры перед собой, простер над ними ладони и повелел крекерам незримо вернуться на прежние места. Он повернул крекер, лежащий слева от него, и я с удивлением увидел, что обе стрелки указывают на север! Виктор взял правый крекер, и оказалось, что одна стрелка смотрит на юг, а другая — на север!
— Попробуй сам, — сказал он, — и увидишь, что все получается автоматически. В самом деле, ведь оба крекера совершенно одинаковы. Разница состоит лишь в том, какой рукой ты их держишь.