Математические трюки для быстрого счёта
Шрифт:
Если вы любите читать книги с конца, то вам представилась отличная возможность. Ознакомьтесь со всеми примерами и проверьте, насколько быстро вы справитесь с заданиями. Вы будете поражены. Порой вам даже станет казаться, будто вы считаете быстрее калькулятора – отчасти потому, что многие случайно набирают на калькуляторе неправильные цифры. Оцените по достоинству каждый метод и проникнитесь осознанием того, что вы – один из немногих, кто теперь на «ты» с этими фокусами. Ну а если захотите вникнуть в суть, загляните в самый конец – там вы найдете доказательства.
2
Проще некуда
Семь правил, которые вам понадобятся
Дорогой
Итак, в основе книги лежат семь легких математических правил. Сравнить их можно с содержимым столярного ящика. Строя прекраснейшие дома, плотник пользуется лишь пилой и топором. Вот и вам понадобится всего несколько математических инструментов, чтобы стать мастером быстрого счета. Некоторые из этих инструментов такие простые, что вы, возможно, сочтете лишним их упоминать. Но я все равно расскажу о них – во-первых, потому что они важные, а во-вторых, потому что они простые и лишний раз порадуют вас.
Правило 1
Первое правило на удивление простое. Порядок чисел при умножении роли не играет:
a x b = b x a
Если буквы вам не по душе, могу продемонстрировать то же самое на простейшем цифровом примере.
3 x 7 даст тот же результат, что 7 x 3. Итак, то, в каком порядке перемножать числа, совершенно не важно.
Правило 2
Второе правило тоже манна небесная для тех, кто пребывает в заблуждении и считает математику сложной.
Порядок чисел при сложении роли не играет.
a + b = b + a
И вот вам пример: 2 + 3 дадут в результате то же число, что и 3 + 2.
Правило 3
Квадрат определенного числа выглядит следующим образом: a x a = a2.
Обратите внимание на крошечную цифру 2 над последней «а» – читая эту книгу, вы успеете близко с ней познакомиться. Математики называют такие цифры степенями.
Вот еще пример: 3 x 3 можно обозначить как 32.
Разумеется, отрицательные числа тоже можно возводить в квадрат:
(-a) x (-a) = (-a)2 = a2
Например: (-3) x (-3) соответствует (-3)2.
А вот это невероятно красиво:
(-3)2 дает тот же результат, что и 32.
Правило 4
На квадратные корни тоже приятно посмотреть:
Это означает, что если извлечь квадратный корень из возведенного в квадрат числа, то это же число и получится.
На языке цифр это выглядит вот так:
Правило 5
Когда надо умножать отрицательные числа, многие впадают в ступор. Если вас это
Одно из важнейших правил звучит так: минус на минус дает плюс.
(-x) x (-y) = x x y
Примеры:
(-2) x (-3) = 2 x 3 = 6
(-4) x (-5) = 4 x 5 = 20
А вот если минус умножить на плюс, то получится, наоборот, минус:
(-x) x y = -(x x y)
Примеры:
(-2) x 3 = -(2 x 3) = -6
4 x (-5) = -(4 x 5) = -20
Запомним это – минус на минус и минус на плюс, и тогда все минусы математики превратятся для вас в плюсы!
Правило 6
Если хотите понять доказательства приведенных в этой книге методов, придется научиться разлагать числовые выражения на множители и раскрывать скобки:
a(b + c) = ab + ac
(a + c)(b + d) = ab + ad + cb + cd
Вот и все – больше про разложение на множители знать нам ничего не понадобится.
Правило 7
Некоторые методы быстрого счета в этой книге основаны на трех видах квадратичных тождеств, которые включены в стандартную школьную программу. Все они – особые случаи правила 6:
(a + c)(b + d) = ab + ad + cb + cd
Квадратичное тождество первого типа:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадратичное тождество второго типа:
(a - b)2 = a2– 2ab + b2
Квадратичное тождество третьего типа:
(a + b)(a - b) = a2– b2
С этими семью правилами в готовальне у вас есть все шансы стать чемпионами быстрого счета. Ну что ж, пора отправляться завоевывать мир! Удачи и успехов!
3
Ходячий калькулятор
Чемпион мира по быстрому счету
В начальной школе я терпеть не мог спорт, зато мечтал стать чемпионом мира по решению в уме всяких математических примеров. Поэтому мне казалось ужасно несправедливым, что школьные спортсмены то и дело выступали на разных соревнованиях, ведь соревнований по математике просто не существовало. Сейчас-то я понимаю, что мое мнение о собственных математических способностях было необоснованно завышенным, я жил в мечтах: хотя считал я и правда довольно быстро, а числа так просто обожал, моих способностей не хватало, если числа в примерах были больше приведенных в таблице умножения. Впрочем, об этом никто не догадывался. Слухи о моих феноменальных математических способностях разлетались со скоростью света и с действительностью ничего общего не имели. Никогда не забуду, как мама одного из моих одноклассников на глазах у всего класса погладила меня по голове и выразила свое восхищение: еще бы, ведь я умею в уме перемножать многозначные числа. Мне тогда было девять лет. А еще мама моего одноклассника слышала, будто я умею и миллионы перемножать. Все это было неправдой, но стеснительность помешала мне опровергнуть слухи. Я смотрел на эту женщину и вспоминал, как однажды, будучи первоклашкой, возвращался из школы домой и был пойман шестиклассниками, которые потребовали сделать за них домашку по математике. Они крепко держали меня (впрочем, особых усилий от них не требовалось – я был самым мелким во всей школе) и, пока я не решил все задачки, не отпускали.