Математика, Философия и Йога

Меррелл-Вольф Франклин

Элементы-песчинки должны быть достаточно небольшими. Вообще говоря, они становятся невероятно крошечными – такими, что их можно назвать «бесконечно малыми». Эту мысль оставил нам Лейбниц, и она стала основой дифференциального исчисления – во всяком случае, в мое время. Мы сталкиваемся с понятием бесконечно малых – в буквальном смысле слова бесконечно малых элементов, совокупность которых образует непрерывное пространство. Однако, поскольку это все-таки отдельные песчинки, такое пространство уже не является чистым потоком.

Математики так и не смирились с мыслью о существовании чего-то бесконечно малого, ускользающего от любых измерений; эта идея никогда их не удовлетворяла. Говорят, что Вейерштрасс [10] полностью отказался от бесконечно малых. Он считается одним из величайших мыслителей в математическом анализе; этот человек интересен уже тем, что писал как поэт. Ему приписывают такие слова: «Математик,

в котором нет ни капли поэта, – не настоящий математик». Возможно, эта фраза поможет вам получить определенное представление об этом человеке. Он, так сказать, избавился от бесконечно малых, но дорогой ценой. Расплатой стал отказ от существования такого явления, как движение; он пришел к тому, что есть только тела, неподвижно покоящиеся в определенных точках пространства в каждый отдельный момент времени. Такое представление работает. Опираясь на него, можно построить дифференциальное исчисление. Лично я не знаком с его выкладками. В мое время они не входили в курс дифференциального исчисления. Наука пошла по пути Лейбница, и теперь вы имеете полное право считать бесконечно малые элементы чем-то совершенно реальным.

Избавиться от бесконечно малых можно, но при этом придется отбросить представление о существовании самого движения: останутся только тела, занимающие в различные мгновения определенные положения в пространстве. Интуиция заставляет задать вопрос: «Каким образом можно оказаться в ином положении, не перемещаясь в него?» Выяснилось, что такое интуитивное недоумение не так уж обосновано. Достаточно предположить, что то явление, которое называют движением, сводится к неподвижному положению материи (или тела) в разных точках пространства в определенные моменты времени. Это можно назвать кинематографическим подходом к действительности, в рамках которого идея движения превращается просто в иллюзию, майю. Я не отстаиваю эту точку зрения, я просто описываю ее. Сейчас я занимаю некую промежуточную позицию. Нам известно, что последовательность неподвижных картинок способна вызвать иллюзию движения. Мы сталкиваемся с этим всякий раз, когда приходим в кинотеатр. Каждый образ, возникающий на экране, совершенно статичен, просто кадры сменяются очень быстро, и в результате возникает впечатление потока, движения, хотя на самом деле никакого движения нет.

Был один греческий философ по имени Парменид, и он уже в давние времена утверждал, что движения не существует. Его противником был Гераклит [12] – тот самый, который сказал, что в мире царит такое движение, что в одну реку нельзя войти дважды – впрочем, это невозможно сделать даже один раз. Зенон [13], ученик Парменида, развил его лучшие парадоксы с единственной целью: продемонстрировать, что, допуская существование движения, можно оказаться в очень сложном положении. Он описал знаменитый парадокс состязания Ахилла и черепахи в беге, где животное получает определенную фору в расстоянии (см. рис. 7).

Рис.7

Зенон утверждает, что Ахилл никогда не догонит ее, как бы он быстро ни бежал и как бы медленно ни ползла черепаха. Предположим, Ахилл начинает бег с точки А, а черепаха – с точки В. Чтобы догнать ее, Ахиллу необходимо достичь точки В, но тем временем черепаха уже доползет до точки С. Это значит, что теперь Ахиллу придется добежать до точки С, но к этому времени черепаха уже окажется в точке D. Это будет продолжаться бесконечно, а Ахиллу потребуется бессчетное число шагов. Совершить бесконечное количество движений за конечное время невозможно. Таким образом, движения нет.

Это может показаться смешным, но логики и математики сражались с этой задачей более двух тысячелетий и до сих пор не нашли вполне удовлетворительного решения. В нашем мыслительном процессе определенно существуют какие-то серьезные изъяны. Бертран Рассел [14] считал, что решение кроется в том, что за конечное время все-таки можно совершить бесконечное число шагов, так как сумма бессчетного количества элементов не обязательно бесконечна, она может быть и конечной. Не исключено, что решение существует, но если так, то нам все же придется ждать до тех пор, пока кто-нибудь его найдет. Так что не смейтесь над Зеноном. Он изложил свой парадокс в виде шутки, но сама задача оказалась серьезным испытанием для мышления.

Этим вечером я собирался заняться математической стороной вопроса, но сначала я хочу сказать, что попытаюсь объединять систематический план лекций и непредвиденные порывы. Систематичность вполне нормальна для обычного интеллектуального построения. Она свойственна лекции любого профессора. К ней относится то, что ты собираешься сделать, причем знаешь об этом заранее. Для этого достаточно

подготовки. По этой причине я отношусь ко всему систематическому только как к мелкой подробности: «Я буду говорить об этом тогда-то и тогда-то, а это понятие введу тогда-то» – и этого достаточно, чтобы прочесть лекцию. В противоположность этому, импровизация представляет собой нечто возникающее откуда-то извне, проникающее сверху, из пространства по другую сторону от черты, и никакие способности нижнего пространства не позволят предсказать: «И тогда я скажу это». Импровизация приходит как дар, если вообще приходит. Но когда это случается, ты отбрасываешь всю систематичность в сторону, непредвиденное оказывается сильнее. Сохранять равновесие между этими двумя силами – очень сложная задача. Может статься, ты вообще забудешь о плане своей лекции, как только она начнется. Такое со мной тоже случалось.

Сделав шаг от двери к кафедре, я забывал обо всем и начинал без всякой подготовки говорить на совершенно другую тему – это значит, что я мог говорить целый час, а план рассказа возникал во время самой лекции. Предсказуемо лишь то, что подобное может случиться. Нельзя сказать: «Я скажу то-то и то-то». Когда это происходит, возникает некое явление. Под словом «явление» я подразумеваю те особенности, которые могут быть распознаны, обнаружены – во всяком случае, некоторыми людьми. Сознание по ту сторону от черты, то есть за покровом, предстает перед нами в виде Полевого Сознания. Оно может ощущаться как нечто расширяющееся, как осязаемая тишина с лишенным формы содержанием. Оно способно взять верх над указаниями умозрительных построений. Когда такое происходит, оно захватывает власть твердой рукой, и человек может сделать то, на что обычно не способен. Оно может вызвать у тех, кто оказался рядом, мистические переживания – радостные состояния сознания, чувство счастья. Оно может вызвать ощущение жара – логичных пояснений этому нет, но это бывает. Ошибка исключена. Я видел, как лица становятся румяными, как они покрываются испариной, а люди начинают снимать пиджаки. Результаты бывают очень ощутимыми, а сам человек может произносить слова так, что они становятся приказаниями не только для него, но и для всех остальных.

Где источник подобных знаний? Он не один. Часть этих сведений может приходить из глубин незримой стороны самого человека. Она может быть познаниями Братства, так как это Братство представляет собой многих в одном – это не совокупность отдельных песчинок, а единое целое, которое можно описать таким образом: «я» превращается в «мы», одновременно оставаясь «я». Выше и ниже этих знаний простираются мысли, которые не принадлежат какой-либо личности – знания, не требующие познающего, нечто вроде Всеобщего Хранилища. Это та сила, которая способна менять сознание человека, переносить его ближе, приближать к отверстию вверху. Возникнув, такое состояние начинает главенствовать над всем прочим. Оно может царить некоторое время, а потом уйти. В таких случаях я вновь возвращаюсь к систематичности. Спонтанные отступления не следует считать личной прихотью говорящего, это результат совместных усилий выступающего и слушателей. Они никогда не случаются, если ты окружен неблагожелательной аудиторией или теми… ну, например, теми, кто думает: «Кем этот парень себя воображает?» Все зависит от внутренней связи. Для поисков такой связи часто требуется время, но это возможно. Эти состояния могут быть очень глубокими, почти такими же мощными, как самадхи [15] во время бодрствования.

Это крошечный проблеск чего-то Запредельного. Заглядывая в эти глубины, относительное сознание может сначала счесть их тьмой, безмолвием и пустотой. Однако при смещении на их собственный уровень, при переходе к иному способу постижения они воспринимаются как необычайно яркий свет, как полнота и вершина содержательности – как внутренняя сущность звучания. По существу, это происходит и сейчас…

Помнится, я сказал, что мы перейдем к вопросу определений. Давайте переключаться. Что такое математика вообще? Название моих лекций: «Математика, философия и йога». Такое сочетание тематик имеет свои причины. Это тот путь, которым я шел, и потому я лучше всего знаком именно с ним. Если вы обратитесь к различным справочникам, как сделал я, то найдете в них множество разнообразных определений того, что понимается под математикой. Я нашел одно из них в «Сэнчери Дикшнэри», где математика определяется как «наука о количестве» [16]. Кажется, такое представление очень широко распространено, но оно остается чрезвычайно далеким от истины. В математике есть много областей, не имеющих ничего общего с количественными отношениями – например, алгебра логики, творение великого ирландского ученого Буля, которого Рассел назвал первым чистым математиком. Алгебра логики не связана с количеством, она рассматривает классы, множества, взаимоотношения между ними и прочие подобные вопросы.