Математика. Утрата определенности.

Клайн Морис

Один из биографов Гаусса утверждает, что тот пытался проверить свой вывод о пригодности неевклидовой геометрии к описанию реального мира. Гаусс обратил внимание на то, что в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, а в неевклидовой — меньше 180°. В течение нескольких лет Гаусс занимался топографической съемкой Ганновера и имел доступ ко всем данным, полученным при съемке. Вполне возможно, что он воспользовался этими данными для проверки суммы углов треугольника. В знаменитой работе от 1827 г. Гаусс отметил, что сумма углов треугольника, образованного тремя горными вершинами, Брокеном, Хоэхагеном и Инзельбергом, превышает 180° примерно на 15". Этот результат сам по себе ничего не доказывал, так как ошибки измерения были гораздо больше 15"; поэтому правильное значение суммы углов вполне могло быть равно 180° или быть меньше 180°. Гаусс, по-видимому, понимал, что выбранный им треугольник слишком мал для решающей проверки, так как в его (Гаусса) неевклидовой геометрии отклонение суммы углов треугольника от 180° пропорционально площади

треугольника. Существенное отклонение от 180° можно было бы обнаружить в треугольнике гигантских размеров, какие возможны разве что в астрономии. И все же Гаусс был убежден, что новая геометрия применима к описанию физического мира ничуть не хуже, чем евклидова геометрия.

Лобачевского также интересовала проблема применимости его геометрии к физическому пространству — и он аргументировал ее применимость к геометрическим фигурам очень больших размеров. Таким образом, к 30-м годам XIX в. неевклидову геометрию не только признали в узком кругу математиков, но и сочли применимой к физическому пространству.

Вопрос о том, какая геометрия лучше всего соответствует физическому пространству (этот вопрос больше всего волновал Гаусса), способствовал появлению еще одного творения человеческого разума — новой геометрии, еще более склонившей математический мир к убеждению, что геометрия физического пространства может быть неевклидовой. Создателем новой геометрии стал Георг Барнхард Риман (1826-1866), ученик Гаусса, занявший впоследствии пост профессора математики в Гёттингене. Хотя работы Лобачевского и Бойаи не были в деталях известны Риману, о них был осведомлен Гаусс, и Риман, возможно, знал о сомнениях своего учителя относительно того, что геометрия реального мира непременно должна быть евклидовой.

Гаусс предложил Риману выбрать для пробной лекции, которую тот должен был прочитать для получения звания приват-доцента, тему об основаниях геометрии. Риман прочитал свою лекцию в 1854 г. на философском факультете Гёттингенского университета. На лекции присутствовал и Гаусс. В 1868 г. — уже после смерти Римана — его лекция была опубликована под названием «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» ([24], с. 309-325). В ней Риман подробно анализировал проблему структуры пространства. Сначала он рассмотрел вопрос о том, что достоверно известно о физическом пространстве. Риман поставил вопрос так: какие данные и условия заранее заложены в самом понятии пространства до того, как мы опытнымпутем устанавливаем, какими свойствами может обладать физическое пространство? Из этих данных и условий, приняв их за аксиомы, Риман намеревался вывести остальные свойства пространства. Аксиомы и логические следствия из них можно было бы считать априорными и необходимыми истинами. Все остальные свойства пространства подлежали эмпирическому исследованию. Риман попытался показать (и в этом состояла одна из главных целей его программы), что аксиомы Евклида в действительности имеют эмпирическое происхождение, а не являются самоочевидными истинами. Риман избрал аналитический подход (опирающийся на математический анализ и некоторые его высшие разделы) из опасения, что при геометрических доказательствах нас могут вводить в заблуждение чувственные восприятия и мы можем предположить такие свойства и факты, которые явно не участвуют в доказательстве.

Предложенный Риманом подход к анализу структуры пространства отличался большой общностью, и для наших целей нет необходимости входить здесь в его детали. Исследуя априорные свойства пространства, Риман ввел некое представление, которое впоследствии стало еще более важным, а именно различие между отсутствием границ («безграничностью») и бесконечностью пространства. (Например, поверхность сферы не имеет границ, но она не бесконечна.) Безграничность, подчеркнул Риман, на эмпирическом уровне воспринимается легче, чем бесконечная протяженность.

Идея Римана о пространстве, не имеющем границ, но не бесконечно протяженном, послужила стимулом к созданию еще одной элементарной неевклидовой геометрии, известной ныне под названием удвоенной эллиптической геометрии. {52} Сначала и сам Риман и Эудженио Бельтрами (1835-1900) рассматривали новую геометрию как применимую к некоторым поверхностям, например таким, как сфера, на которой роль «прямых» играют дуги больших кругов. Но под влиянием работ Кэли и других авторов математикам пришлось примириться с мыслью, что удвоенная эллиптическая геометрия, как и геометрия Гаусса, Лобачевского и Бойаи, может описывать наше трехмерное физическое пространство, в котором роль прямой играет след, оставленный краем линейки.

52

Ее чаще называют сферической— трехмерную сферическую (или удвоенную эллиптическую) геометрию можно трактовать как геометрию (трехмерной) сферической поверхности шара четырехмерного евклидова пространства.

В удвоенной эллиптической геометрии прямая не ограничена, хотя длина ее не бесконечна. Более того, в удвоенной эллиптической геометрии вообще нетпараллельных. Так как в новой геометрии остается в силе часть аксиом евклидовой геометрии, некоторые ее теоремы сохраняют тот же вид, что и теоремы,

известные нам из «Начал» Евклида. Например, теорема о том, что два треугольника конгруэнтны, если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, дословно переносится в удвоенную эллиптическую геометрию, как и другие признаки конгруэнтности треугольников. Но основная часть теорем удвоенной эллиптической геометрии отличается как от теорем евклидовой геометрии, так и от теорем геометрии Гаусса — Лобачевского — Бойаи. Так, одна из теорем этой необычной геометрии утверждает, что все прямые имеют одинаковую длину и каждые две из них пересекаются в двух точках. Другая теорема гласит, что все перпендикуляры к данной прямой пересекаются в двух точках. Сумма углов треугольника в удвоенной эллиптической геометрии всегда больше 180°, но она, убывая, стремится к 180°, когда площадь треугольника приближается к нулю. Два подобных треугольника обязательно конгруэнтны. Что же касается применимости удвоенной эллиптической геометрии к физическому миру, то все аргументы относительно применимости ранее созданной неевклидовой геометрии, впоследствии получившей название гиперболической геометрии,равным образом относятся и к ней. {53}

53

Впоследствии Феликс Клейн рассмотрел еще одну простую неевклидову геометрию, родственную удвоенной эллиптической геометрии, но отличающуюся от нее тем, что здесь уже любые две прямые пересекаются в одной точке. Клейн назвал такую геометрию просто эллиптической.[Риман, который рассматривал строение геометрий лишь в «малом», в окрестности одной точки пространства, не ставил вопроса о глобальной структуре введенных им пространств; именно это и позволяет — как весьма часто делают — считать его создателем и эллиптической геометрии. — Ред.]

На первый взгляд мысль о том, что любая из этих странных геометрий могла бы соперничать с евклидовой геометрией и даже быть более ценной в приложениях к реальной Вселенной, кажется нелепой. Но Гаусс имел смелость рассмотреть и такую возможность. Независимо от того, использовал ли он результаты измерений, приведенные в его работе 1827 г., для проверки применимости неевклидовой геометрии к реальному миру, Гаусс был первым, кто не только с уверенностью заявил, что неевклидова геометрия применима к физическому пространству, но и осознал, что мы более не можем быть уверены в истинностиевклидовой геометрии. Трудно утверждать, находился ли Гаусс под непосредственным влиянием идей Юма. Во всяком случае, предпринятую Кантом попытку опровергнуть Юма Гаусс не считал достаточно серьезной. Не следует забывать, однако, что Гаусс жил во времена, когда истинность математических законов была поставлена под сомнение, и он не мог не ощущать влияния той духовной атмосферы, в которой он жил, как все мы не можем не дышать воздухом, который нас окружает. Новые взгляды, пусть незаметно для него самого, проникали в сознание Гаусса. Если бы Саккери родился на сто лет позже, возможно, и он пришел бы к тем же выводам, что и Гаусс.

Насколько можно судить, сначала Гаусс сделал заключение, что во всей математике нет ничего истинного. В письме к Бесселю от 21 ноября 1811 г. он утверждал:

Не следует забывать о том, что эти функции [комплексного переменного], подобно всем математическим конструкциям, являются всего лишь нашими творениями и что в тот момент, когда утрачивает смысл определение, с которого мы начали разработку их теории, следует спрашивать себя, не «что такое эти функции», а какое допущение удобнее принять, чтобы введенное нами понятие функции сохранило смысл.

Но отказаться от сокровищ было не так-то легко. Гаусс, по-видимому, подверг пересмотру проблему истины в математике и счел, что он нашел твердую почву, на которой можно возводить фундамент. В письме Гаусса к Генриху Вильгельму Ольберсу (1758-1840), написанному в 1817 г., говорится:

Я все более убеждаюсь в том, что [физическая] необходимость нашей [евклидовой] геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим разумом и для человеческого разума. Может быть, на том свете мы сможем постичь структуру пространства, пока непостижимую. А до тех пор геометрию надлежит помещать в один класс не с арифметикой, носящей чисто априорный характер, а с механикой, истины которой требуют экспериментальной проверки.

Гаусс в отличие от Канта не считал законы механики истинами. Как и большинство ученых, Гаусс разделял взгляды Галилея, утверждавшего, что эти законы основаны на опыте. В письме Гаусса Бесселю от 9 апреля 1830 г. содержится следующее признание:

По моему глубокому убеждению теория пространства занимает в нашем знании совершенно иное место, нежели чистая математика [оперирующая с числами]. Во всем нашем знании нет ничего такого, что сколько-нибудь убедительно доказывало бы абсолютную необходимость (и следовательно, абсолютную истинность), столь характерную для чистой математики. Нам остается лишь смиренно добавить, что если число — это продукт нашего разума, то пространство — это реальность, лежащая вне нашего разума, которой мы не можем предписывать свои законы.