Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Ибаньес Рауль

В плоском мире этого бы не произошло — во всех его уголках на небе были бы видны одни и те же созвездия.

Путешественник, который находится в Южном полушарии, не сможет увидеть Полярную звезду (а). Если он начнет двигаться на север, то в момент пересечения экватора (b). Полярная звезда взойдет над горизонтом. Если путешественник продолжит двигаться на север, то увидит, как Полярная звезда поднимается все выше и выше. Так, над Северным тропиком, широта которого равна 23,5°, Полярная звезда расположена под углом 23,5° к горизонту (с). На Северном полюсе путешественник увидит Полярную звезду точно над головой (d).

Если мы опустим взгляд и сфокусируем его на горизонте, то также

увидим доказательства того, что Земля круглая (лучше всего при этом находиться на побережье или на корабле в открытом море). Мы увидим, что линия горизонта искривляется к краям — в плоском мире она не была бы так искривлена.

Но вот вам и самое убедительное и неоспоримое доказательство того, что Земля круглая. Допустим, что мы стоим на пляже и смотрим, как парусник движется от нас в сторону горизонта. Если бы Земля была плоской, парус становился бы все меньше и меньше, пока не стал бы совершенно неразличимым. Но в действительности так не происходит: когда корабль уплывает вдаль, сначала из виду пропадает его корпус, затем — палуба, паруса и, наконец, вершина самой высокой мачты с маленьким флагом, развевающимся на ветру. Причина этому — кривизна земного шара. Мы наблюдаем подобную картину, когда смотрим, как путник скрывается за холмом: сначала из вида пропадают его ноги, затем — туловище и, наконец, голова. Более того, именно благодаря этому эффекту горизонт выглядит как тонкая линия между морем и небом — если бы Земля была плоской, зона между морем и небом была бы нечеткой, и различить линию горизонта было бы нельзя.

* * *

НА КАКОМ РАССТОЯНИИ НАХОДИТСЯ ГОРИЗОНТ?

Когда мы перестаем видеть флаг на вершине мачты корабля, уходящего в море? Ответить на этот и другие подобные вопросы поможет знаменитая теорема Пифагора: «В прямоугольном треугольнике с катетами а и b и гипотенузой с выполняется равенство с² = а² + Ь²».

Сначала узнаем, на каком расстоянии от нас находится горизонт. Для этого предположим, что глаза наблюдателя, который смотрит на линию, разделяющую небо и море, находятся на высоте h = 1,70 м. Так как свет распространяется прямолинейно, то линия зрения, обращенная к горизонту, будет касательной к Земле. Учитывая, что, согласно простой теореме геометрии, «касательная к окружности перпендикулярна ее радиусу, проведенному в точку касания» (см. рис. на следующей странице), имеем прямоугольный треугольник, катетами которого будут линия зрения, направленная к горизонту (обозначим длину этого катета через d), и радиус Земли R (будем рассматривать радиус на экваторе, равный 6378137 м). Гипотенузой треугольника будет отрезок, соединяющий глаза наблюдателя с центром Земли. Длина гипотенузы равна R + h. По теореме Пифагора получим, что расстояние до горизонта равно почти 5 км:

Прямоугольный треугольник, катетами которого являются линия зрения, направленная к горизонту (длина этого катета равна d), и радиус Земли R, а гипотенузой — отрезок, соединяющий глаза наблюдателя с центром Земли. Длина этого отрезка равна R + h.

Если мы проведем аналогичные рассуждения, рассмотрев наблюдательную площадку на вершине мачты корабля (примем ее высоту равной h = 15 м), получим, что для моряка на мачте горизонт находится в 13832,73 м. Сложив полученные результаты, имеем: в момент, когда мачта корабля скрывается из вида, корабль находится от нас на расстоянии 18489,52 м, то есть более 18 км.

* * *

Средневековая мысль

Несмотря на все вышесказанное, на Западе распространено мнение, согласно которому весь средневековый мир верил, что Земля плоская, и только Христофор Колумб (1451–1506) убедил современников в обратном. Этот миф, по всей видимости, происходит из книги «История жизни и путешествий Христофора Колумба» американского писателя Вашингтона Ирвинга (1783–1859).

Вере в то, что Земля плоская, предположительно способствовало дословное

толкование Библии. Например, в Книге пророка Даниила (глава 4, стих 8) говорится: «Большое было это дерево и крепкое, и высота его достигала до неба, и оно видимо было до краев всей земли», в Книге Даниила, глава 2, стих 35: «Камень, разбивший истукана, сделался великою горою и наполнил всю землю». Если бы Земля не была плоской, это было бы невозможно. В Первой Книге Царств (глава 2, стих 8) и Книге Иова (глава 9, стих 6) говорится о столбах, на которых стоит Земля. Кроме того, дословное толкование Библии определило и форму средневековых карт: они были прямоугольными, согласно словам Исаии (глава 11, стих 12) или Откровению Иоанна Богослова (глава 20, стих 7): «… на четырех углах Земли», или круглыми и даже овальными, согласно изречению «над кругом Земли» (Книга пророка Исаии, глава 40, стих 22). В центре карт, согласно Книге пророка Иезекииля (глава 5, стих 5), как правило, изображался Иерусалим. Эти представления вкупе с общей космологической системой, пришедшей на смену идеям Птолемея и его предшественников, обрели популярность с выходом знаменитой «Христианской топографии», написанной греческим монахом Козьмой Индикоплевстом (VI век). Плоская форма «круга земного» (Orbis Terrarum) стала частью официальной догмы, которую отстаивали многие христианские богословы и власти предержащие. Простолюдины были убеждены в том, что эта догма истинна, так как иные знания были им недоступны. Козьма Индикоплевст, следуя буквальному толкованию Библии, описывал мир как огромную Скинию, где находится плоская прямоугольная Земля, окруженная океаном.

Карта мира Козьмы Индикоплевста. Север изображен вверху, а Земля имеет форму четырехугольника, окруженного Океаном. В левой части изображено Средиземное море, в которое впадает река Нил, берущая начало в Океане. Справа вверху находится Каспийское море, внизу — Персидский и Арабский залив (Красное море). В Персидский залив впадают реки Тигр и Евфрат.

В Средневековье были распространены так называемые «карты Т и О», названные по первым буквам Orbis Terrarum — «круг земной». На этих картах был изображен известный мир, окруженный океаном в форме буквы О. Буква Т обозначала Средиземное море, делившее Землю на три части: Азию — вверху, Европу — слева и Африку — справа. Некоторые карты были очень простыми, другие — более сложными, как, например, карта Херефорда (вверху), выполненная Ричардом из Халдингэма, или карта Эбсторфа авторства Гервасия Тильберийского. Обе эти карты были созданы в XIII веке.

Однако образованные люди никогда не отказывались от веры в то, что Земля круглая. Так, указания на это можно найти в книге одного из отцов католической церкви Аврелия Августина (354–430): он был убежден, что Земля круглая, однако сомневался, что противоположная сторона Земли обитаема. Эта же концепция излагается в энциклопедическом труде Исидора Севильского (ок. 560–636) — «Этимологиях», где были собраны все знания того времени («Этимологии» были одной из самых используемых энциклопедий в школах и университетах), и в его же книге «О природе вещей». Аналогичные описания встречаются в «Божественной комедии» итальянского поэта Данте Алигьери (1265–1321) и в «Трактате о сфере» английского астронома Иоанна Сакробоско (1195–1256) — важнейшем учебнике в истории, по которому астрономия преподавалась на протяжении пяти столетий. В своем трактате Сакробоско изложил идеи из «Альмагеста» Птолемея, дополнив их новыми знаниями и устранив некоторые термины, чтобы сделать труды Птолемея по географии и космологии более понятными для современников.

От эллипсоидной модели к геоидной

До XVII века считалось, что Земля — идеальная сфера. Английский физик и математик Исаак Ньютон (1643–1727) вывел из своего закона всемирного тяготения такое следствие: Земля должна быть слегка сплюснута у полюсов и немного шире у экватора. Центробежная сила, возникающая при вращении Земли, имеет наибольшую величину у экватора и убывает по мере приближения к полюсам, где равна нулю. Поскольку эта сила компенсирует действие силы тяжести, на экваторе сила тяжести будет меньше. Как следствие, более точной моделью нашей планеты является эллипсоид вращения.