Метод. Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. Выпуск 4: Поверх методологических границ
Шрифт:
Остается только задать вопрос, насколько полезно формальное логическое исчисление, которое не в состоянии выразить логический характер утверждений, представляющихся важными с точки зрения содержательной логики и, как представляется, не содержащих никаких логических понятий выходящих за рамки этого исчисления.
Мы, таким образом, ясно видим семиотический недостаток, общий для многих систем формальной логики – отказ от полной экспликации смысловых различений вплоть до семиотических. Собственно говоря, это было бы совсем нестрашно, если бы формальные тексты рассматривались не как язык, а просто как сокращенная запись, сопровождаемая по мере надобности естественно-языковыми комментариями, как это имеет место в большинстве математических работ. Однако, такое употребление формализма, разрушило бы цель,
Фактически же, в силу того что идеальный формализм построить очень трудно, «неидеальные» формализмы использовались так, как будто они являются идеальными, т.е. естественно-языковые фрагменты доказательств опускались, становясь частью устной традиции, что делает работы по математической логике почти абсолютно герметичными для людей не принадлежащих к находящимся в неформальном общении между собой специалистам, которые именно при этом неформальном общении устанавливают единый способ понимания публикуемых ими текстов. Таким образом, вопрос о природе формальных логических систем естественно переносится из плана семиотики в план социолингвистики. К этому вопросу мы еще вернемся ниже.
Продолжим, однако, обсуждение парадоксов математической логики. Существуют весьма различные точки зрения на их роль в развитии этой науки. Одна из этих точек зрения приведена выше и отрицает позитивную роль парадоксов. Существует и прямо противоположное мнение [Hofstadter, 1979], подчеркивающее их решающую роль в развитии математической логики.
Что касается проблемы разрешения парадоксов, то они не могут, по-видимому, быть «разрешены» в рамках существующих формальных систем, а вопрос о пользе построения формальных систем, в которых подобные парадоксы не возникают, зависит от доказательных возможностей подобных систем [Френкель, Бар-Хиллел, 1966].
Рассматривая «парадокс лжеца» 21 , можно заметить, что с точки зрения содержательной логики возможны различные подходы к его пониманию и, следовательно, устранению.
1. Последовательное различение текста и метатекста в высказывании.
2. Признание грамматически правильными только те высказывания, все элементы которых контекстно согласованны. В наиболее яркой форме контекстная несогласованность проявляется в следующей форме записи «парадокса лжеца»: «Высказывание, следующее за данным, истинное. Высказывание, предшествующее данному, ложно».
21
Критянину Эпимениду (VI в. до н.э.) приписывается высказывание: «Все критяне – лжецы».
3. Последовательное различение структуры и оценки в высказывании в духе упомянутой выше работы В. Виндельбандта. При этом оценка не может рассматриваться как предикат, а именно такая ситуация имеет место в «парадоксе лжеца».
4. Принять «самоописывающиеся» выражения как интуитивно допустимый, особый класс выражений и попытаться научиться производить с ним формально-логические операции. Именно эта точка зрения принята в «Gjdel, Escher, Bach» и «Доказуемое и недоказуемое» [Hofstadter, 1979; Манин, 1979].
Мы видим, таким образом, что «разрешение» парадоксов зависит от научной позиции, занимаемой в рамках содержательной логики. Именно эта позиция и должна определять в соответствии с высказанным выше принципом 1 выбор формализма, в котором соответствующие парадоксы не возникают.
Рассмотрим теперь пример так называемого «логического», а не «семантического» парадокса. Наиболее известен он в своей естественно-языковой форме: «Деревенский брадобрей бреет тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами», однако, имеет и теоретико-множественную формулировку [Френкель, Бар-Хиллел, 1966]. Хорошо известно, что это выражение является не логическим парадоксом, а логически противоречивым определением 22 .
22
В
[{(¬ xRx) -> xRp} {(xRx)->¬ (xRp}]
iU
где U – множество жителей деревни, РU – брадобрей. Легко видеть, что формула является точным логическим эквивалентом естественно языковой записи и тождество ложно, так как содержит тождественно ложное выражение (¬А->А) (А->¬А) в качестве одного из члена конъюнкции где А=pRp.
Смысл парадокса, по-видимому, не в логической противоречивости высказывания, а в чем-то еще. Френкель и Бар-Хиллел пишут «…это (логическое противоречие. – Я. Д., В. С.) мало способствует уменьшению парадоксальности полученного результата: тот факт, что не может существовать множества, состоящего в точности из всех объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, отнюдь не кажущимся каким-то исключительным, а именно не содержащих себя в качестве элемента – пожалуй не менее противоречит здравому смыслу, чем прямое противоречие» [Френкель, Бар-Хиллел, 1966, с. 17].
Отметим в этом тексте критерий соответствия интуиции: «множество, состоящее в точности из всех объектов, удовлетворяющих четко определенному условию» и «не кажущемуся каким-то исключительным».
Вряд ли можно считать четко определенным условием «все множества, не содержащие себя в качестве элемента». Условие «несодержания себя» крайне слабое и опирается на семантически сомнительное использование одного и того же объекта актуально в двух взаимоисключающих ролях – части и целого. Что же касается «не кажущемуся чем-то исключительным», то это утверждение, по-видимому, следует принимать как признание того, что автор не видит этой сомнительности.
Далее в этой же работе подчеркивается: «С самого начала следует уяснить, что в традиционной трактовке логики и математики не было решительно ничего, что могло бы служить в качестве основы для устранения антиномии Рассела». Этот пассаж следует рассматривать как ясное указание на то, что парадокс Рассела носит не логический, а семантический характер. Действительно, и в приведенном выше фрагменте, он рассмотрен как не соответствующее интуиции противоречие, что, пожалуй, говорит о неразработанности интуиции в этом вопросе, а не о пороках логики, иными словами об отсутствии необходимых семантических категорий для его понимания. Точно такую же критику мы наблюдали выше при рассмотрении «парадокса лжеца». Таким образом, вряд ли целесообразно разделять парадоксы на логические и семантические – все они, по нашему мнению, семантические, т.е. могут быть устранены разработкой семантики, что, однако, является задачей не формальной логики, исследующей формальные системы, а содержательной логики, вырабатывающей новые смыслы и правила работы с ними.
Для содержательной логики парадокс свидетельствует о необходимости выработки некоторых новых различений смысла. После того как такое различение выработано, построение формальной системы, учитывающей это различение, может быть осуществлено в духе принципа 1 и является технической задачей. Каковы бы, однако, ни были смысловые различения в рамках логической семантики, лежащей в основе некоторой формальной системы, могут найтись выражения не интерпретируемые в рамках этой семантики, т.е. воспринимаемые как парадокс. Такие случаи должны служить побудительным мотивом не просто для построения новых формальных систем, в которых подобные парадоксы не появляются, но и, главным образом, для прояснения и уточнения семантики понятий, на которой строится парадокс. Без разработки новой семантики оперирование с формальными системами превращается в некий род «гадания», т.е. в средство стимулирования интуиции.